2018　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　赤，青，白のカードが$4$枚ずつ，合計$12$枚ある．各色のカードに，それぞれ$1$から$4$までの数字が一つずつ書かれている．これらのカードから，一度に$4$枚を選ぶとき，下の問いに答えなさい．

(1)　$4$枚とも同じ色である確率$p_1$を求めなさい．

(2)　$4$枚がすべて異なる数字である確率$p_2$を求めなさい．

(3)　$4$枚のうち，ちょうど$3$枚が同じ数字である確率$p_3$を求めなさい．

【２】　$n$を自然数とする．硬貨を$n$回投げるとき，裏が連続して出ることがない場合の数を$a_n$で表す．ただし，$a_1=2$と考える．下の問いに答えなさい．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めなさい．

(2)　$n+2$回目が表である場合と裏である場合とに分けて考えることにより，$a_{n+2}$を$a_{n+1}$と$a_n$とを用いて表しなさい．

【３】　正五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおく．この正五角形の一辺の長さを$1\text{，}\mathrm{OB}$の長さを$\phi$とするとき，下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\pi \overrightarrow{\mathrm{OA}}$であることを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{d}\text{，}\phi$を用いて表しなさい．また，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\phi \overrightarrow{\mathrm{OD}}$であることを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{d}\text{，}\pi$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\phi \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であることを利用して，$\phi$の値を求めなさい．

【４】　下の問いに答えなさい．

(1)　$x\geqq 1$のとき，$2\sqrt{x}>\log x$であることを示しなさい．

(2)　前問(1)の結果を利用して，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}$を求めなさい．

(3)　前問(2)の結果を利用して，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x$を求めなさい．

(4)　$x>0$で定義される関数$S(x)={\displaystyle {\int }_x^1}t\log tdt$を求めなさい．

(5)　前問(4)の$S(x)$について，$\underset{x\to +0}{\lim }S(x)$を求めなさい．