2018 富山大学 後期理学部数学科MathJax

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2018 富山大学 後期

理(数学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】  f (x ) は区間 [ 0,1 ] で定義された連続関数で,区間 ( 0,1 ) で微分可能であり,次の方程式を満たすとする.

-e f (x) +ef (x) =x ex- ex+ 1

このとき,次の問いに答えよ.

(1) 方程式 f (x )=1 の解は x =0 のみであることを示せ.

(2) 方程式 f (x )=0 の解は x =1 のみであることを示せ.

(3) 区間 ( 0,1 ) 内の点 a 0 <f (a )<1 を満たすとき, f (a )< 0 を示せ.

(4) 方程式 f (x )= 12 の解は区間 ( 0,1 ) においてただ 1 つ存在することを示せ.

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易□ 並□ 難□

【2】  C 1 を半径 1 の円とし, T1 C 1 に内接する正 12 角形とする. C2 T 1 に内接する円とし, T2 C 2 に内接する正 12 角形とする.これを繰り返して正 12 角形 T1 T 2 T 3 を定める.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  S1 S2 S3 をそれぞれ T1 T 2 T 3 の面積とするとき,和 n =1 Sn を求めよ.

(2)  l1 l2 l3 をそれぞれ T1 T 2 T 3 の周の長さとするとき,和 n=1 l n を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 実数 α α 3=3 を満たすとき,次の問いに答えよ.

(1)  α が有理数でないことを証明せよ.

(2) 整式 x3- 3 x2+p x+q で割ったときの商 A (x ) と余り B (x ) を求めよ.ただし, p q は実数とする.

(3)  α2 +pα+ q=0 を満たす有理数 p q は存在しないことを背理法を用いて証明せよ.

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