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2018-10341-0201
2018 富山大学 後期
理(数学科)学部
易□ 並□ 難□
【1】 f⁡ (x ) は区間 [ 0,1 ] で定義された連続関数で,区間 ( 0,1 ) で微分可能であり,次の方程式を満たすとする.
-e⁢ f⁡ (x) +ef⁡ (x) =x⁢ ex- ex+ 1
このとき,次の問いに答えよ.
(1) 方程式 f⁡ (x )=1 の解は x =0 のみであることを示せ.
(2) 方程式 f⁡ (x )=0 の解は x =1 のみであることを示せ.
(3) 区間 ( 0,1 ) 内の点 a が 0 <f⁡ (a )<1 を満たすとき, f′⁡ (a )< 0 を示せ.
(4) 方程式 f⁡ (x )= 12 の解は区間 ( 0,1 ) においてただ 1 つ存在することを示せ.
2018-10341-0202
【2】 C 1 を半径 1 の円とし, T1 を C 1 に内接する正 12 角形とする. C2 を T 1 に内接する円とし, T2 を C 2 に内接する正 12 角形とする.これを繰り返して正 12 角形 T1 ,T 2 ,T 3 ,⋯ を定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1) S1 , S2 , S3 , ⋯ をそれぞれ T1 ,T 2 ,T 3 ,⋯ の面積とするとき,和 ∑n =1∞ Sn を求めよ.
(2) l1 , l2 , l3 , ⋯ をそれぞれ T1 ,T 2 ,T 3 ,⋯ の周の長さとするとき,和 ∑ n=1 ∞l n を求めよ.
2018-10341-0203
【3】 実数 α が α 3=3 を満たすとき,次の問いに答えよ.
(1) α が有理数でないことを証明せよ.
(2) 整式 x3- 3 を x2+p ⁢x+q で割ったときの商 A ⁡(x ) と余り B ⁡(x ) を求めよ.ただし, p ,q は実数とする.
(3) α2 +pα+ q=0 を満たす有理数 p , q は存在しないことを背理法を用いて証明せよ.