2018　富山大学　後期工，都市デザイン学部MathJax

【１】　実数$x$の関数$f(x)=e^x-(1+x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3)$と$g(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x^2}}$を考える．以下の問いに答えよ．ただし，$f(x)$の$x$についての第$n$次導関数を${\displaystyle \frac{d^n}{{dx}^n}}f(x)$と表すことにする．

(1)　${\displaystyle \frac{d^3}{{dx}^3}}f(x)$を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$において，${\displaystyle \frac{d^2}{{dx}^2}}f(x)\text{，}{\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)\text{，}f(x)$のいずれも$0$以上になることを示せ．

(3)　これまでの結果を利用して，$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)=\infty$を示せ．

(4)　$a$を実数の定数とするとき，$g(x)=a$の実数解の個数を調べよ．

【２】　空間内に$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，これらが直交座標$(x,y,z)$を用いてそれぞれ$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(-1,1,4)\text{，}\mathrm{B}(1,2,2)$と表されている．以下の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の単位法線ベクトルのうち，$z$成分が正のものを求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の重心を通る垂線と$xy$平面の交点$\mathrm{C}$の直交座標を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【３】　ジョーカーを除く$1$組のトランプ$52$枚（エース$\mathrm{A}\text{，}$ジャック$\mathrm{J}\text{，}$クイーン$\mathrm{Q}\text{，}$キング$\mathrm{K}$の数字はそれぞれ$1\text{，}11\text{，}12\text{，}13$とする）から，$1$枚ずつカードを無作為に引き，引いたカードは戻さない．$n$番目（$n=1\text{，}2$）に引いたカードの数字を$a_n$とし，そのカードのマークがスペードまたはクローバーのときは$S_n=1$とし，ハートまたはダイヤのとき$S_n=-1$とする．このとき$r_n=S_n{a}_n\text{，}C=r_1+r_{2}i$とする（ただし，$i$は虚数単位である）．例えば，$1$枚目がハートのキング$\mathrm{K}\text{，}2$枚目がクローバーの$5$の場合$C=-13+5i$となる．以下の問いに答えよ．

(1)　引いた$2$枚のカードが同じマークである確率を求めよ．

(2)　$C$の偏角が${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$または${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$である確率を求めよ．

(3)　$\left|C\right|\leqq 5$となる確率を求めよ．

(4)　$\left|r_1\right|<r_2$となる確率を求めよ．