2018　富山大学　推薦理学部数学科MathJax

【１】　$n$を自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\text{，}{T}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k+1)\text{，}{U}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k+1)(k+2)$とするとき，和$S_n\text{，}{T}_n\text{，}{U}_n$をそれぞれ$n$に関して因数分解した形で表せ．

(2)　(1)の結果から，和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)$の$n$に関して因数分解した形を類推し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

【２】　$xyz=2$を満たす正の実数$x\text{，}y\text{，}z$に対して

${\log }_8(x^2+y^2)+{\log }_8(y^2+z^2)+{\log }_8(z^2+x^2)\geqq {\displaystyle \frac{5}{3}}$

が成り立つことを示せ．

【３】　座標平面上の曲線$C$は媒介変数$\theta$を用いて，$x=\cos \theta \text{，}y=\cos 2\theta +2\sin \theta -1$によって表されている．ただし，$0\leqq \theta \leqq 2\pi$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$y$を$x$の関数として$y=f(x)$で表す．$f(x)$を求めよ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(3)　$\pi \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$y$を$x$の関数として$y=g(x)$で表す．$g(x)$を求めよ．

(4)　$\pi \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$g(x)$の増減を調べ，$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．

(5)　曲線$C$の概形をかけ．

(6)　曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．