2018　山梨大学　前期MathJax

【１】

(1)　整式$P(x)$を$(x+1)(x-3)$で割ると$3x+4$余り，$(x-1)(x-3)$で割ると$5x-2$余る．このとき，$P(x)$を$(x-1)(x+1)$で割ったときの余りを求めよ．

【１】

(2)　平面上の点$\mathrm{A}(6,2)$を通る傾き$-k$の直線$l$を考える．ただし，$k>0$とする．直線$l$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とし，原点を$\mathrm{O}$とするとき，$▵\mathrm{OBC}$の面積$S(k)$の最小値を求めよ．また，そのときの$k$の値を求めよ．

【１】

(3)　平面上の$2$点$\mathrm{A}(-a,0)\text{，}\mathrm{B}(a,0)$に対し，$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=3:1$である点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．ただし，$a$は正の実数とする．

【１】

(4)　ある箱の中に赤色の玉が$a$個，緑色の玉が$b$個，青色の玉が$c$個入っている．このとき，箱から$1$個の玉を取り出す場合に赤色の玉が出る確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}2$個の玉を同時に取り出す場合に赤色と緑色の玉が$1$個ずつ出る確率が${\displaystyle \frac{4}{25}}\text{，}3$個の玉を同時に取り出す場合に全ての色の玉が$1$個ずつ出る確率が${\displaystyle \frac{9}{50}}$である．$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

【２】　$xy$平面において連立不等式$0\leqq y\leqq 2x\text{，}0\leqq x\leqq 3\text{，}-x^2+4x-3\leqq y\leqq 2$の表す領域を$D$とし，実数$a$は$0\leqq a\leqq 2$を満たし，不等式$a\leqq x\leqq a+1$の表す領域と$D$との共通部分の面積を$S(a)$とする．

(1)　区間$0\leqq a\leqq 1$における$S(a)$を求めよ．

(2)　区間$1<a\leqq 2$における$S(a)$を求めよ．

(3)　区間$0\leqq a\leqq 2$における$S(a)$の最大値および最小値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=4-{\displaystyle \frac{3}{a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$n$を自然数とするとき，数学的帰納法を用いて，$2\leqq a_n<3$を示せ．

(2)　$n$を自然数とするとき，数学的帰納法を用いて，$a_n<a_{n+1}$を示せ．

(3)　$n$を自然数とするとき，数学的帰納法を用いて，$3-a_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}$を示せ．

【１】

(1)　関数$f(x)=x^{12}{e}^{-x}$について，$x\geqq 0$における最大値の整数部分の桁数を求めよ．ただし，${\log }_{10}12=1.08\text{，}{\log }_{10}e=0.43$とする．

【１】

(2)　関数$f(x)=2{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}+\sin x+3$の区間$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【１】

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{n}{n^2+3k^2}}$を求めよ．

【２】　平面上の$▵\mathrm{OAB}$の内部に点$\mathrm{P}$がある．線分$\mathrm{AP}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{OQ}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{BR}$を$1:2$に内分しているものとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$の面積と$▵\mathrm{OAP}$の面積の比を求めよ．

(4)　$\mathrm{OA}=5\text{，}\mathrm{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直であるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$の値を求めよ．

【３】　座標平面上に放物線$C\text{：}{y}^2=4x$と点$\mathrm{A}(-1,a)$がある．ただし，$a$は実数とする．

(1)　$C$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{p^2}{4}},p)$における接線の方程式を$p$を用いた式で表せ．ただし，$p\ne 0$とする．

(2)　点$\mathrm{A}$から$C$に引いた接線は$2$本存在することを証明せよ．また，それら$2$本の接線は直交することを証明せよ．

(3)　点$\mathrm{A}$から$C$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．直線$\mathrm{QR}$は$C$の焦点$\mathrm{F}$を通ることを証明せよ．

【４】　座標平面上で，$t$を媒介変数として，$x=t-{\displaystyle \frac{1}{t}}\text{，}y=t+{\displaystyle \frac{1}{t}}\text{（}t>0\text{）}$で表される曲線を$C$とする．

(1)　$x$が$t$について，つねに増加することを示せ．また，$x$がすべての実数を値にとることを示せ．

(2)　$y$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$t$を消去することによって，$x$と$y$の関係を求めよ．

(4)　$t=2$に対応する$C$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}})$における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(5)　(4)で求めた$l\text{，}C$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．