2018　山梨大学　後期MathJax

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\cos xdx=\boxed{\text{ア}}$であり，${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{x}^2\cos xdx=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\left({\displaystyle \frac{1+3x}{1-4x}}\right)}^{\frac{1}{x}}=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　関数$f(x)$が任意の実数$x$に対して$f(x)=\sin x+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}f(x)\cos tdt$を満たすとき，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}f(x)\cos tdt=\boxed{\text{エ}}$となる．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　自然数$k$に対して，$k$次多項式$P_k(x)$は$k$次の項の係数が$1$であり，次の恒等式を満たすとする．

$(1-x^2){P_k}^{″}(x)-2x{P_k}^{\prime }(x)=k(k+1)P_k(x)=0$

このとき，$P_2(x)=\boxed{\text{オ}}$であり，$P_3(x)=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ク}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(5)　座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,3)$を通る平面を$\alpha$とする．$\alpha$に関して原点$\mathrm{O}$と対称な点$\mathrm{D}$の座標は$\boxed{\text{キ}}$であり，三角形$\mathrm{OCD}$の面積は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ケ}}$から$\boxed{\text{ス}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　実数$x\text{，}y$が$x^2+xy+y^2=1$を満たすとき，$x^2+2xy$の最大値は$\boxed{\text{ケ}}$であり，最小値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ケ}}$から$\boxed{\text{ス}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　$n$を$3$以上の自然数とする．$1$の$n$乗根$z_0\text{，}{z}_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_{n-1}$は$0=\arg z_0<\arg z_1<\cdots <\arg z_{n-1}<2\pi$を満たすとする．$S_n={\displaystyle \frac{z_0-z_{n-1}}{z_0+z_{n-1}}}+{\displaystyle \sum _{m=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{z_m-z_{m-1}}{z_m+z_{m-1}}}$とし，$S_n$の虚部を$I_n$とする．このとき，$I_6=\boxed{\text{サ}}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=\boxed{\text{シ}}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ケ}}$から$\boxed{\text{ス}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　$(1+5^{3^1}+{25}^{3^1})(1+5^{3^2}+{25}^{3^2})(1+5^{3^3}+{25}^{3^3})$$\cdots (1+5^{3^{98}}+{25}^{3^{98}})(1+5^{3^{99}}+{25}^{3^{99}})\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-5^{3^{100}}}}=\boxed{\text{ス}}$である．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人が正四面体のサイコロとコインによってゲームをする．正四面体のサイコロの$4$つの面に$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の数字が書いてあり，サイコロを投げるとどの面も同じ確率で下を向き，下に向いた面に書かれた数を出た数とする．コインを投げると表と裏が出る確率が同じであり，表が出ると$1\text{，}$裏が出ると$2$を出た数とする．$\mathrm{A}$はサイコロを投げ，出た数の回数だけコインを投げて，そのコインの出た数の合計を得点とする．$\mathrm{B}$はサイコロをコインを$1$回ずつ投げ，それぞれの出た数の積を得点とする．$\mathrm{A}$の得点が$\mathrm{B}$の得点より大きくなる確率を求めよ．

【４】　$0\leqq z+\bar{z}\leqq 1\leqq \left|z\right|$を満たす複素数$z$の集合を$A$とする．$A$を複素数平面上に図示せよ．また，$z$が領域$A$を動くとき，$-z^{-1}$が動く領域$B$を複素数平面上に図示せよ．

【５】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\log x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(x_0,y_0)$における法線上に点$\mathrm{B}(x_1,y_1)$があり，$\mathrm{AB}=1$かつ$y_1>y_0$を満たす．$x_0$が区間$1\leqq x_0\leqq \sqrt{3}$を動くとき，点$\mathrm{A}$の描く曲線を$C_0\text{，}$点$\mathrm{B}$の描く曲線を$C_1$とする．

【６】　$a\text{，}b$を$2$以上の整数とする．${\log }_{a}b$が有理数ならば，正の整数$m\text{，}n$と$2$以上の整数$c$が存在して，$a=c^m\text{，}b=c^n$と表されることを示せ．