2018　山梨大学　工（コンピュータ理工学科）学部推薦MathJax

問１　次の数列$\{a_n\}$の極限値$\alpha$を求める手順を説明してください．

$a_n={\displaystyle \frac{2n-1}{2n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

　上に示した極限値の定義の中の「限りなく近づく」という表現は，「$|a_n-\alpha |$が$0$に近づく」と同じです．$|a_n-\alpha |$を$a_n$と$\alpha$の距離として，以下では数列と極限値の距離について考えます．

問２　問１の$a_n$と$\alpha$について，$|a_n-\alpha |<{\displaystyle \frac{1}{10}}$となるための$n$の最小値を求める手順を説明してください．その方法を使って，$|a_n-\alpha |<{\displaystyle \frac{1}{100}}\text{，}|a_n-\alpha |<{\displaystyle \frac{1}{1000}}$となるための最小の$n$を求めてください．

問３　任意の$\epsilon >0$に対して$|a_n-\alpha |<\epsilon$となるような$n$を考えます．$\epsilon$をしだいに$0$に近づけると$n$はどのように変化するか説明してください．問２の結果から予測しても構いません．

問４　次の数列$\{b_n\}$の極限について，収束するか発散するか，$b_n$と問１の$\alpha$との距離，$b_n$と$2$との距離を使って説明してください．

$b_n=\{\begin{array}{ll}2& \text{（}n=1\text{，}10\text{，}{10}^2\text{，}{10}^3\text{，}\cdots \text{）}\\ {\displaystyle \frac{2n-1}{2n+1}}& \text{（その他の}n\text{）}\end{array}$