2018　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　方程式

$4^x-3\cdot 2^x+3\cdot 2^{-x}+4^{-x}=0$

について，次の問いに答えなさい．

(1)　$X=2^x-2^{-x}$とおくとき，上の方程式を$X$の式で表しなさい．

(2)　上の方程式の実数解$x$をすべて求めなさい．

【２】　座標空間に$4$点$\mathrm{A}(1,1,2)\text{，}\mathrm{B}(2,0,1)\text{，}\mathrm{C}(1,1,0)\text{，}\mathrm{D}(3,4,6)$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面に関して点$\mathrm{D}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{E}$の座標を求めなさい．

【３】　図のような半径$1$の円を底面とする円錐$V$と，円錐$V$に内接する球$S$を考える．$V$の高さが変わるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　円錐$V$の母線の長さを$l\text{，}$球$S$の半径を$r$とするとき，$r$を$l$の式で表しなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{S\text{の表面積}}{V\text{の表面積}}}$の最大値を求めなさい．

【４】　$a$を正の実数とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$y=x^a\log x\text{（}x>0\text{）}$の極値を求めなさい．

(2)　$0<x<1$で次の不等式が成り立つことを示しなさい．

$-{\displaystyle \frac{2}{ae}}{x}^{\frac{a}{2}}\leqq x^a\log x<0$

(3)　$\underset{x\to +0}{\lim }{x}^a\log x$を求めなさい．

(4)　$0<b<1$とする．次の連立不等式の表す領域の面積を$S(b)$とする．

$\{\begin{array}{c}b\leqq x\leqq 1\\ x^a\log x\leqq y\leqq 0\end{array}$

$\underset{b\to +0}{\lim }S(b)$を求めなさい．