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2018-10421-0201
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2018 信州大学 前期 経法,理,医
経法,医(保健)学部
易□ 並□ 難□
【1】 座標平面上の曲線 C :y=x 2+x+ a が相異なる 2 点 A ,B で x 軸と交わっているとする.また A ,B における C の接線の交点を P とおくとき, ∠APB=120⁢ ° であるとする.
(1) a の値を求めよ.
(2) ▵ABP の面積 S を求めよ.
2018-10421-0202
2018 信州大学 前期 経法,理,工,医
経法,理(数),工,医(保健)学部
【2】 1 個のさいころを 4 回投げ,出た目の数を左から順番に並べてできる 4 桁の整数を n とする.
(1) n が 2 の倍数になる確率を求めよ.
(2) n が 3 の倍数になる確率を求めよ.
(3) n が 45 の倍数になる確率を求めよ.
2018-10421-0203
経法,理(数),工,医(医,保健)学部
【3】 0<t< 3 を満たす実数 t に対し,平面上の相異なる 4 点 O ,A , B ,C を次の条件(a),(b)を満たすようにとる.
(a) OA→ と OB → のなす角を θ とするとき, tan⁡θ = 1t+1
(b) OA→ ⋅OC →=t -3 ,OB →⋅ OC→ =0
線分 OA を t :1 に内分する点を D とし, ▵OCD の面積を S ⁡(t ) とする. S ⁡(t ) の最大値を求めよ.
2018-10421-0204
2018 信州大学 前期 理,工,医
【4】 数列 { an } は
a1= 1 ,a n+1 = 7⁢a n-1 4⁢a n+3 ( n=1 ,2 , ⋯ )
を満たすとする.
(1) n=1 , 2 ,⋯ に対し, an> 12 であることを示せ.
(2) bn= 2 2⁢a n-1 ( n=1 ,2 , ⋯ ) で定まる数列 { bn } の一般項を求めよ.
2018-10421-0205
理(数),工,医(医)学部
【5】 a を実数とする.座標平面上の曲線 C :y=e x⁢( x2+ 2⁢x ) と直線 l :y=a について,次の問いに答えよ.
(1) C と l がちょうど 2 点を共有するような a が満たす条件を求めよ.ただし, limx →-∞ ex ⁢( x2+ 2⁢x) =0 を用いてよい.
(2) (1)で求めた条件を満たす a に対し, C と l で囲まれる領域と,不等式 x ≦0 が表す領域との共通部分の面積を S ⁡( a) とおく. S ⁡( a) の最大値と,そのときの a の値を求めよ.
2018-10421-0206
2018 信州大学 前期 理,医
理(数),医(医)学部
【6】 θ が - π 2≦ θ≦ π2 の範囲を動くとき,座標平面上の直線
y=( sin⁡θ )⁢x +cos⁡θ
上の点 ( x,y ) について,不等式
-| x| ≦y≦ x2+ 1
が成り立つことを示せ.
2018-10421-0207
【7】 M は有限個の複素数からなる集合で,
(a) 1∈M , 0∉M
(b) z ,w∈ M ならば z ⁢w∈M
を満たすとする. α∈M とするとき,次の問いに答えよ.
(1) αn =1 となる自然数 n が存在することを示せ.
(2) m を αm= 1 を満たす自然数のうち最小のものとする.このとき,
cos⁡ 2⁢π m+i ⁢sin⁡ 2 ⁢πm ∈M
であることを示せ.