2018　信州大学　前期　経法，理，医MathJax

【１】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=x^2+x+a$が相異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で$x$軸と交わっているとする．また$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における$C$の接線の交点を$\mathrm{P}$とおくとき，$\angle \mathrm{APB}=120\mathrm{°}$であるとする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABP}$の面積$S$を求めよ．

【２】　$1$個のさいころを$4$回投げ，出た目の数を左から順番に並べてできる$4$桁の整数を$n$とする．

(1)　$n$が$2$の倍数になる確率を求めよ．

(2)　$n$が$3$の倍数になる確率を求めよ．

(3)　$n$が$45$の倍数になる確率を求めよ．

【３】　$0<t<3$を満たす実数$t$に対し，平面上の相異なる$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を次の条件(a)，(b)を満たすようにとる．

(a)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{t+1}}$

(b)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=t-3\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0$

線分$\mathrm{OA}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$▵\mathrm{OCD}$の面積を$S(t)$とする．$S(t)$の最大値を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{7a_n-1}{4a_n+3}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対し，$a_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}$であることを示せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{2}{2a_n-1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　$a$を実数とする．座標平面上の曲線$C\text{：}y=e^x(x^2+2x)$と直線$l\text{：}y=a$について，次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$l$がちょうど$2$点を共有するような$a$が満たす条件を求めよ．ただし，$\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x(x^2+2x)=0$を用いてよい．

(2)　(1)で求めた条件を満たす$a$に対し，$C$と$l$で囲まれる領域と，不等式$x\leqq 0$が表す領域との共通部分の面積を$S(a)$とおく．$S(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【６】　$\theta$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，座標平面上の直線

$y=(\sin \theta )x+\cos \theta$

上の点$(x,y)$について，不等式

$-\left|x\right|\leqq y\leqq \sqrt{x^2+1}$

が成り立つことを示せ．

【７】　$M$は有限個の複素数からなる集合で，

(a)　$1\in M\text{，}0\notin M$

(b)　$z\text{，}w\in M$ならば$zw\in M$

を満たすとする．$\alpha \in M$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\alpha }^n=1$となる自然数$n$が存在することを示せ．

(2)　$m$を${\alpha }^m=1$を満たす自然数のうち最小のものとする．このとき，

$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{m}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{m}}\in M$

であることを示せ．