2018　信州大学　後期　経法，理，工，繊維学部MathJax

【１】　$\alpha$を定数とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(k^2-\alpha k+{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}-{\displaystyle \frac{1}{6}})\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_{100}=0$のとき，$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$\alpha ={\displaystyle \frac{11}{2}}$のとき，$a_n$を最小にする$n$の値と，そのときの$a_n$の値を求めよ．

【２】　$t$を実数とし，座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,-1,-2)\text{，}\mathrm{B}(1,2,1)\text{，}\mathrm{C}(t-3,1,t+1)$をとる．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．

(2)　$t$が実数全体を動くとき，$▵\mathrm{OAC}$の面積の最小値を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積が$1$のとき，$t$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}a\text{，}a\text{，}a\text{，}b\text{，}b\text{，}b\text{，}c\text{，}c\text{，}d$の$10$文字を$1$列に並べる順列を考える．

(1)　このような順列の総数を求めよ．

(2)　$2$つの$c$が隣り合うような順列の総数を求めよ．

(3)　$c$と$d$が隣合わないような順列の総数を求めよ．

【４】　$m$を正の定数とする．曲線$C\text{：}y=x^3+m{x}^2+1\text{（}x\geqq 0\text{）}$上の点$\mathrm{P}(t,t^3+m{t}^2+1)\text{（}t>0\text{）}$における$C$の接線を$l$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(t)={\displaystyle \frac{279}{4}}$を満たす正の整数の組$(t,m)$を求めよ．

【５】　関数$y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}}\text{（}x>0\text{）}$の逆関数を$y=f(x)$とする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　関数$g(x)=f(\sqrt{x^3+1})$を微分せよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_2^n}{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x^5+x^2}}}$を求めよ．

【６】　正の実数$\theta$は$\cos \pi \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$を満たすとする．数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$をそれぞれ

$a_n=\cos n\pi \theta \text{，}{b}_n=\sqrt{3^n}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$a_{n+2}+a_n$を$a_{n+1}$を用いて表せ．

(2)　$b_1\text{，}{b}_2$を求めよ．

(3)　$b_n$は$3$で割り切れない整数であることを示せ．

(4)　$\theta$は無理数であることを示せ．ただし，$\sqrt{3}$が無理数であることは用いてよい．