2018　岐阜大学　前期MathJax

【１】　$m\text{，}n$を$m>n+1$をみたす自然数とする．$S(n)={\displaystyle \sum _{k=1}^{6n}}{k}^2$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$S(n)$を$n$を用いて表せ．

(2)　$S(m)-S(n)=(m-n)T(m,n)$となる$T(m,n)$を$m\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　$S(m)-S(n)=2018$をみたす$m\text{，}n$を求めよ．ただし，必要ならば，$1009$が素数であることを用いてよい．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に点$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(3,\sqrt{3},0)\text{，}$$\mathrm{C}(x,y,z)$がある．点$\mathrm{C}$は内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=2$をみたすとする．また，$t=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$t$を$x$を用いて表せ．

(2)　条件$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=2$から$x\text{，}$$y\text{，}$$z$がみたす関係式を求めよ．また，条件$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=2$から$x\text{，}$$y\text{，}$$z$がみたす関係式を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$t$を用いて表せ．

(4)　$-2\leqq t\leqq 4$となることを示せ．また，$t=4$のとき，点$\mathrm{C}$の座標$(x,y,z)$を求めよ．

(5)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|$の最大値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数とする．関数$f(\theta )$を

$f(\theta )=a{\cos }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +b{\sin }^2\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

とする．以下の問に答えよ．

(1)　$0$以上の実数$r$と実数$\alpha \text{，}\beta$に対して，$p=r\cos \beta \text{，}q=r\sin \beta$とおく．$r$を$p$と$q$を用いて表せ．また，次の等式が成り立つことを示せ．

$r\sin (\alpha +\beta )=p\sin \alpha +q\cos \alpha$

(2)　関数$y=f(\theta )$の最小値$m\text{，}$最大値$M$を$a\text{，}b$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　すべての$\theta$に対して$f(\theta )\geqq 0$となる条件を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(4)　すべての$\theta$に対して$f(\theta )\leqq 0$となる条件を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(5)　関数$y=f(\theta )$が$\theta$の値によって正の値も負の値もとりうる条件を$a\text{，}b$を用いて表せ．また，この条件をみたす点$(a,b)$全体の集合を$ab$平面上に図示せよ．

【４】　最初$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人が，$\mathrm{A}$を先頭に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の順で一列に並んでいる．さいころを投げるたびに，以下の操作を行う．

・$1$の目が出たら，先頭の人と$2$番目の人を入れ替える．

・$2$の目が出たら，$2$番目の人と$3$番目の人を入れ替える．

・$1\text{，}2$以外の目が出たら，入れ替えを行わない．

$n$を自然数とする．$n$回さいころを投げた後に$\mathrm{A}$が先頭にいる確率を$p_n\text{，}\mathrm{A}$が$2$番目にいる確率を$q_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{q}_1$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}\text{，}{q}_{n+1}$を$p_n\text{，}{q}_n$を用いてそれぞれ表せ．

(3)　$q_n$を求めよ．

(4)　$a_n=2^n(p_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})$とおき，$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．さらに，$p_n$を求めよ．

【５】　$a>1$とする．自然数$n$に対して，

$S_n=a^{3n+3}-1$

$T_n=(a-1)(a^2+a+1){\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}}{a}^{3k-3}$

とする．以下の問に答えよ．

(1)　$S_1=T_1$を示せ．

(2)　すべての$n$に対して，$S_{n+1}-S_n$と$T_{n+1}-T_n$が等しいことを示せ．また，数学的帰納法を用いて，$S_n=T_n$を示せ．

(3)　$2^{15}-1$を$7$で割ったときの余りを求めよ．

(4)　$5^{2018}$を$31$で割ったときの余りを求めよ．

【４】　$a$を正の定数とする．極方程式

$r=e^{a\theta }\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

で表される$xy$平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$x\text{，}y$を$\theta$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　曲線$C$の長さを求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の方程式を$\theta$を用いて表せ．ただし，$0<\theta <\pi$とする．

(4)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$l\text{，}$点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$m$とする．$l$と$m$のなす角は$\mathrm{P}$によらず一定であることを示せ．

(5)　$l$と$m$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$となるような$a$の値を求めよ．

【５】　以下の問に答えよ．

(1)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\log (x+1)}{x+1}}dx$

(2)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\log (x+1)}{{(x+1)}^2}}dx$

(3)　正の実数$x\text{，}h$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{h}{x^2}}<{\displaystyle \frac{\log (x+h)-\log x}{h}}<{\displaystyle \frac{1}{x}}$

(4)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(\log {\displaystyle \frac{k+n+1}{k+n}})\log {\displaystyle \frac{k+n}{n}}$