2018　静岡大学　前期MathJax

【１】　実数$x\text{，}y\text{，}z$が次の$3$つの等式

$x+y+z=0\text{，}{x}^3+y^3+z^3=3\text{，}{x}^5+y^5+z^5=15$

を満たしている．$x^2+y^2+z^2=a$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$xy+yz+zx$を$a$を用いて表せ．

(2)　$xyz$の値を求めよ．

(3)　$a$の値を求めよ．

【２】　座標平面上で，曲線$y=-x^2+1\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を$C$とする．実数$a\text{，}b$を定数とする$2$次関数

$y=2x^2+ax+b\cdots \text{①}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$\text{①}$のグラフが曲線$C$と共有点を$2$点持つとき，$a\text{，}b$が満たす条件を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が(1)で求めた条件を満たすとき，$\text{①}$のグラフの頂点が描く図形を座標平面上に図示せよ．

(3)　(2)で求めた図形の境界線で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　自然数$k$に対して，分母が$2k+1\text{，}$分子が$k$以下の自然数の平方からなる分数を考える．このような分数を，分母の小さい順に，分母が同じ場合には分子の大きい順に並べてできる数列を作り，下のように群に分ける．

$\underset{\text{第}1\text{群}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\left|\underset{\text{第}2\text{群}}{{\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{1}{5}}}\right|\underset{\text{第}3\text{群}}{{\displaystyle \frac{9}{7}},{\displaystyle \frac{4}{7}},{\displaystyle \frac{1}{7}}}\left|\underset{\text{第}4\text{群}}{{\displaystyle \frac{16}{9}},{\displaystyle \frac{9}{9}}\mathrm{,}{\displaystyle \frac{4}{9}},{\displaystyle \frac{1}{9}}}\right|$$\underset{\text{第}5\text{群}}{{\displaystyle \frac{25}{11}},{\displaystyle \frac{16}{11}},{\displaystyle \frac{9}{11}},{\displaystyle \frac{4}{11}},{\displaystyle \frac{1}{11}}}|$${\displaystyle \frac{36}{13}},{\displaystyle \frac{25}{13}},\cdots$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　第$n$群の最初の項を$n$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{36}{23}}$が第何項になるかを求めよ．

(3)　第$n$群の項の総和を$S_n$とする．このとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$の値$S$を$n$を用いて表せ．

【４】　平面上の$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$が

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{p}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{q}\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{p+q}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=p\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=q$

を満たしている．ただし，$p\text{，}$$q$は正の数で$p\ne q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は平行でないことを示せ．

(2)　$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

【１】　自然数$k$に対して，分母が$2k+1\text{，}$分子が$k$以下の自然数の平方からなる分数を考える．このような分数を，分母の小さい順に，分母が同じ場合には分子の大きい順に並べてできる数列を作り，下のように群に分ける．

$\underset{\text{第}1\text{群}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\left|\underset{\text{第}2\text{群}}{{\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{1}{5}}}\right|\underset{\text{第}3\text{群}}{{\displaystyle \frac{9}{7}},{\displaystyle \frac{4}{7}},{\displaystyle \frac{1}{7}}}\left|\underset{\text{第}4\text{群}}{{\displaystyle \frac{16}{9}},{\displaystyle \frac{9}{9}}\mathrm{,}{\displaystyle \frac{4}{9}},{\displaystyle \frac{1}{9}}}\right|$$\underset{\text{第}5\text{群}}{{\displaystyle \frac{25}{11}},{\displaystyle \frac{16}{11}},{\displaystyle \frac{9}{11}},{\displaystyle \frac{4}{11}},{\displaystyle \frac{1}{11}}}|$${\displaystyle \frac{36}{13}},{\displaystyle \frac{25}{13}},\cdots$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　第$n$群の最初の項を$n$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{36}{23}}$が第何項になるかを求めよ．

(3)　第$n$群の項の総和を$S_n$とする．このとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$の値$S$を$n$を用いて表せ．

(4)　初項から第$376$項までの和を求めよ．

【３】　座標平面上で，曲線$y=-x^2+1\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$を$C$とする．実数$a\text{，}b$を定数とする$2$次関数

$y=2x^2+ax+b\cdots \text{①}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$\text{①}$のグラフが曲線$C$と共有点を$2$点持つとき，$a\text{，}b$が満たす条件を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が(1)で求めた条件を満たすとき，$\text{①}$のグラフの頂点が描く図形を座標平面上に図示せよ．

(3)　(2)で求めた図形の境界線で囲まれた領域のうち$y\geqq 0$の部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【４】　$\mathrm{.x}\geqq 0$の範囲で，関数

$f_n(x)=e^x-1-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f_2(x)\geqq 0$であることを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，$f_n(x)\geqq 0$であることを示せ．

(3)　$f_3(x)\leqq x{f}_2(x)$が成り立つことを示せ．

(4)　$0\leqq x<1$を満たす$x$について，${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{x^k}{k!}}=e^x-1$が成り立つことを示せ．

【１】　$z\ne 1$である複素数$z$に対して，$w={\displaystyle \frac{z+1}{1-z}}$とする．点$z$が複素数平面の虚軸上を動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　$w$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$|w+i+1|$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　平面上の$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$が

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{5}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=3\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=2$

を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は平行でないことを示せ．

(2)　$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【４】　実数$t$の関数$f(t)={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}(\cos tx)(\cos 2x)dx$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos \alpha \cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\}$を示せ．

(2)　$f(2)$の値を求めよ．

(3)　$\left|t\right|\ne 2$のとき，$f(t)$を求めよ．

(4)　$\underset{t\to 2}{\lim }f(t)$を求めよ．