2018　静岡大学　後期MathJax

【１】　$a$を正の数とし，$2$次曲線$x^2-a{y}^2=1$を$C$とする．この曲線$C$に接する傾き$1$の直線が存在するとき，次の問に答えよ．

(1)　$a$の範囲を求めよ．

(2)　曲線$C$に接する傾き$1$の直線の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　曲線$C$と(2)で求めた直線の接点の座標を$a$を用いて表せ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(2)　$x=\log (\tan \theta )$とおいて，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}\log 3}}f(x)dx$を求めよ．

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$▵\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線上に点$\mathrm{P}$を，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$が直交するようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$t$を正の数とし，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標が$\mathrm{A}(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})\text{，}$$\mathrm{B}(t+1,0)$と表せるとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\leqq \sqrt{2}$となることを示せ．

【２】　$-1\leqq a\leqq 1$を満たす$a$に対して，数列$\{a_n\}$を

$a_1=a\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}({a_n}^3-3a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，すべての自然数$n$に対して，$-1\leqq a_n\leqq 1$であることを示せ．

【３】　微分可能な関数$f(x)$と$g(x)$が，$f^{\prime }(x)=g(x)\text{，}{g}^{\prime }(x)=-f(x)$を満たしている．また，次の条件

$f(a)=f(b)=0\text{，}$区間$(a,b)$でつねに$f(x)\ne 0$

を満たす実数$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$が存在している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$g(c)=0\text{，}a<c<b$を満たす実数$c$が存在することを示せ．

(2)　$g(c)=0\text{，}a<c<b$を満たす実数$c$は，ただ$1$つであることを示せ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{-x}dx$を求めよ．

(2)　(1)の結果を用いて，不定積分${\displaystyle \int }{x}^2{e}^{-x}dx$を求めよ．

(3)　次の等式を満たす連続関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)=x^3{e}^{-x}+{\displaystyle {\int }_0^x}f(x-t)e^{-t}dx$

【５】　複素数平面上で$z+\bar{z}=-2$を満たす点$z$の描く図形を$B$とし，$|z-4|=1$を満たす点$z$の描く図形を$C$とする．また，$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とし，原点と点$\alpha$を通る直線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　図形$B$と$C$を図示せよ．

(2)　点$z$の直線$l$に関して対称な点を表す複素数を$z^{\prime }$とする．このとき，$z^{\prime }={\displaystyle \frac{\alpha }{\bar{\alpha }}}\bar{z}$が成り立つことを示せ．

(3)　図形$B$の直線$l$に関して対称な図形を$B^{\prime }$とする．このとき，$B^{\prime }$と$C$が共有点を持つ$\theta$の値の範囲を求めよ．

【２】　実数$t$の関数

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^2}|x^2-(t+1)x+t|dx$

を考える．このとき，$f(t)$の$0\leqq t\leqq 2$における最大値と最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}\log 3}}f(x)dx$を求めよ．