2018　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】　自然数$n$に対して$I_n={\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{n}x}}dx$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　不定積分$I_2$を求めよ．

(2)　不定積分$I_4$を求めよ．

(3)　不定積分$I_3$を求めよ．

【２】　自然数$k\text{，}n$が$k\leqq n$を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　不等式

${\left({\displaystyle \frac{n}{k}}\right)}^k\leqq {}_{n}C_k$

を証明せよ．

(2)　すべての実数$t$に対して，$1+t\leqq e^t$を証明せよ．

(3)　$0$以上のすべての実数$t$に対して，

${}_{n}C_k{t}^k\leqq e^{nt}$

を証明せよ．

(4)　不等式

${}_{n}C_k\leqq {\left({\displaystyle \frac{en}{k}}\right)}^k$

を証明せよ．

(5)　$n={10}^{23}\text{，}k={10}^2$のとき，${}_{n}C_k$の桁数の下$2$桁を切り捨てた値を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$の各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c\text{，}$重心を$\mathrm{G}\text{，}$内心を$\mathrm{I}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)

$\overrightarrow{\mathrm{IG}}=({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{b}{a+b+c}})\overrightarrow{\mathrm{AB}}+({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{c}{a+b+c}})\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

を証明せよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{IG}}=\overrightarrow{0}$は，$▵\mathrm{ABC}$が正三角形であるための必要十分条件であることを証明せよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$が正三角形でないとき，次の条件$p\text{，}q$は同値であることを証明せよ．

$p$：順番を適当に入れ替えれば，$a\text{，}b\text{，}c$は等差数列をなす．

$q$：線分$\mathrm{IG}$と平行な辺が存在する．

【４】　定数$a\text{，}b\text{，}c$を用いて，数列$\{S_n\}$を

$S_n=a^n+b^n+c^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．

(1)　恒等式

$(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$

を用いて$S_{n+3}\text{，}{S}_{n+2}\text{，}{S}_{n+1}\text{，}{S}_n$が満たす漸化式を求めよ．

(2)　$a+b+c=0\text{，}abc\ne 0$のとき，

${\displaystyle \frac{S_2{S}_3}{S_5}}\text{，}{\displaystyle \frac{{(S_2)}^2{S}_3}{S_7}}\text{，}{\displaystyle \frac{S_2{S}_5}{S_7}}$

のそれぞれの値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$3$つの値に共通してあてはまる規則を$1$つ挙げよ．