2018　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とし，少なくとも一方は$0$でないとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　連立不等式

$3x+2y+4\geqq 0\text{，}x-2y+4\geqq 0\text{，}ax+by\geqq 0$

の表す領域，または連立不等式

$3x+2y+4\geqq 0\text{，}x-2y+4\geqq 0\text{，}ax+by\leqq 0$

の表す領域が三角形であるために$a\text{，}b$がみたすべき条件を求めよ．さらに，その条件をみたす点$(a,b)$の範囲を座標平面上に図示せよ．

(2)　(1)の三角形の面積を$S$とするとき，$S$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$S\geqq 4$を示せ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　整数$\alpha \text{，}\beta$の少なくとも一方が奇数のとき，${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2$は奇数であることを示せ．

(2)　$n$を奇数とする．このとき${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=2n$をみたす整数$\alpha \text{，}\beta$は存在しないことを示せ．

(3)　$c$を実数とする．このとき$3$次方程式$x^3-2018x+c=0$の解のうち整数であるものは$1$個以下であることを示せ．

【３】　図１のように$2$つの正方形$\mathrm{ABCD}$と$\mathrm{CDEF}$を並べた図形を考える．$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が$6$個の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を以下の規則(a)，(b)に従って移動する．

(a)　時刻$0$では図２のように点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$にいる．

(b)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は時刻が$1$増えるごとに独立に，今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する．

　時刻$n$まで$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同時に同じ頂点にいることが一度もない確率を$p_n$と表す．また時刻$n$まで$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同時に同じ頂点にいることが一度もなく，かつ時刻$n$に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がともに同じ正方形上にいる確率を$a_n$と表し，$b_n=p_n-a_n$と定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)　時刻$1$での点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の可能な配置を，図２にならってすべて図示せよ．

(2)　$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{a}_2\text{，}{b}_2$を求めよ．

(3)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}{a}_n$で表せ．

(4)　$p_n\leqq {\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$を示せ．

【１】　自然数$n$に対し，定積分$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^n}{x^2+1}}dx$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$I_n+I_{n+2}={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$を示せ．

(2)　$0\leqq I_{n+1}\leqq I_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n$を求めよ．

(4)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{2k}}$とする．このとき(1)，(2)を用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【２】　$a$を$1$より大きい実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　関数$y=a^x$と$y={\log }_{a}x$のグラフの共有点は，存在すれば直線$y=x$上にあることを示せ．

(2)　関数$y=a^x$と$y={\log }_{a}x$のグラフの共有点は$2$個以下であることを示せ．

(3)　関数$y=a^x$と$y={\log }_{a}x$のグラフの共有点は$1$個であるとする．このときの共有点の座標と$a$の値を求めよ．

【３】　$p$を素数，$a\text{，}b$を整数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${(a+b)}^p-a^p-b^p$は$p$で割り切れることを示せ．

(2)　${(a+2)}^p-a^p$は偶数であることを示せ．

(3)　${(a+2)}^p-a^p$を$2p$で割ったときの余りを求めよ．