2018　滋賀大学　前期MathJax

【１】　$x\text{，}y$が$2$つの不等式$x^2+y^2\leqq 1\text{，}x\geqq a$を満たすとする．ただし，$-1<a<1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y$の最大値を求めよ．

(2)　$y-x$の最大値を求めよ．

【２】　初項$a\text{，}$公差$-3$の等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．また，$T_n$を次の式で定める．

$\begin{array}{ll}{T}_n& ={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(n-k+1)a_k\\ & =n{a}_1+(n-1)a_2+(n-2)a_3+\cdots +2a_{n-1}+a_n\end{array}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　数学的帰納法を用いて，$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}n\{2a-3(n-1)\}$となることを証明せよ．

(2)　$T_n$を$a\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　$a$を自然数とする．$S_n<0$かつ$T_n\geqq 0$を満たす自然数$n$の個数が$30$であるような$a$の値をすべて求めよ．

【３】　$1$つの袋の中に白玉，青玉，赤玉が合わせて$25$個入っている．この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，白玉$1$個と青玉$1$個が取り出される確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$であり，青玉$1$個と赤玉$1$個が取り出される確率も${\displaystyle \frac{1}{6}}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　この袋の中に入っている白玉，青玉，赤玉の個数をそれぞれ求めよ．

(2)　この袋から同時に$3$個の玉を取り出すとき，すべての色の玉が含まれる確率を求めよ．

(3)　この袋から同時に$4$個の玉を取り出す．取り出した玉がすべての色の玉を含んでいたとき，その中に青玉が$2$個入っている確率を求めよ．

【４】　自然数$a\text{，}b$に対し，

$f(x)=x^3-a{x}^2+bx-8$

とする．$f(x)=0$の解がすべて自然数のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha \beta \gamma =8$を満たす自然数の組$(\alpha ,\beta ,\gamma )$をすべて求めよ．ただし，$\alpha \leqq \beta \leqq \gamma$とする．

(2)　$a$のとりうる値の中で最大のものを$a_1\text{，}$そのときの$b$の値を$b_1$とする．また，$a$のとりうる値の中で$2$番目に大きいものを$a_2\text{，}$そのときの$b$の値を$b_2$とする．$(a_1,b_1)$および$(a_2,b_2)$を求めよ．

(3)　$f_1(x)=x^3-a_1{x}^2+b_{1}x-8\text{，}{f}_2(x)=x^3-a_2{x}^2+b_{2}x-8$とする．定積分

${\displaystyle {\int }_{-c}^c}|f_1(x)-f_2(x)|dx$

を$c$を用いて表せ．ただし，$c>0$とする．

【３B】　$\mathrm{A}$店のあんパンの重さは平均$105\mathrm{g}\text{，}$標準偏差$\sqrt{5}\mathrm{g}$の正規分布に従い，$\mathrm{B}$店のあんパンの重さは平均$104\mathrm{g}\text{，}$標準偏差$\sqrt{2}\mathrm{g}$の正規分布に従うとする．また，あんパンの重さはすべて独立とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$店のあんパン$10$個の重さをそれぞれ量り，その標本平均を$\bar{X}❲\mathrm{g}❳$とする．同様に，$\mathrm{B}$店のあんパン$4$個の重さの標本平均を$\bar{Y}❲\mathrm{g}❳$とする．このとき，$\bar{X}$と$\bar{Y}$の平均と分散をそれぞれ求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$店と$\mathrm{B}$店のあんパンの重さを比較したい．$W=\bar{X}-\bar{Y}$の平均と分散をそれぞれ求めよ．ただし，$\bar{X}$と$\bar{Y}$が独立であることを用いてよい．

(3)　$W$が正規分布に従うことを用いて，確率$P(W\geqq 0)$を求めよ．ただし，以下の数表を用いてよい．ここで，$Z$は標準正規分布に従う確率変数である．

(4)　$\mathrm{A}$店のあんパン$25$個の重さを量り，その標本平均を$\overline{X^{\prime }}❲\mathrm{g}❳$をする．同様に，$\mathrm{B}$店のあんパン$8$個の重さの標本平均を$\overline{Y^{\prime }}❲\mathrm{g}❳$とする．$W^{\prime }=\overline{X^{\prime }}-\overline{Y^{\prime }}$とするとき，確率$P(W^{\prime }\geqq 0)$と確率$P(W\geqq 0)$の大小を比較せよ．ただし，$\overline{X^{\prime }}$と$\overline{Y^{\prime }}$が独立であることと，$W^{\prime }$が正規分布に従うことを用いてよい．

【４D】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は定数とする．ただし，$d>1$とする．関数$f(x)$を次のように定める．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{（}x\leqq 1\text{）}\\ a{x}^2+bx+c& \text{（}1<x\leqq d\text{）}\\ 3& \text{（}d<x\text{）}\end{array}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$がすべての実数$x$において連続であるとき，$b$を$a\text{，}d$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$がすべての実数$x$において微分可能であるとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値をそれぞれ求めよ．