2018　京都大学　前期MathJax

【１】　$a$は正の実数とし，座標平面内の点$(x_0,y_0)$は$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=|x^2-1|\text{，}{C}_2\text{：}y=x^2-2ax+2$

の共有点であり，$\left|x_0\right|\ne 1$を満たすとする．$C_1$と$C_2$が$(x_0,y_0)$で共通の接線をもつとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{B}$とは異なる点$\mathrm{P}$を取り，線分$\mathrm{AP}$の垂直$2$等分線が辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$またはその延長と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

(1)　線分$\mathrm{QR}$の長さを$\sin \angle \mathrm{BAP}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が動くときの線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値を求めよ．

【３】　$n^3-7n+9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$を満たすとし，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$は垂直であることを示せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$を含む平面$\alpha$で四面体$\mathrm{ABCD}$を切って$2$つの部分に分ける．このとき，$2$つの部分の体積は等しいことを示せ．

【５】　整数が書かれている球がいくつか入っている袋に対して，次の一連の操作を考える．ただし各球に書かれている整数は$1$つのみとする．

(ⅰ)　袋から無作為に球を$1$個取り出し，その球に書かれている整数を$k$とする．

(ⅱ)　$k\ne 0$の場合，整数$k$が書かれた球を$1$個新たに用意し，取り出した球とともに袋に戻す．

(ⅲ)　$k=0$の場合，袋の中にあった球に書かれていた数の最大値より$1$大きい整数が書かれた球を$1$個新たに用意し，取り出した球とともに袋に戻す．

　整数$0$が書かれている球が$1$個入っており他の球が入っていない袋を用意する．この袋に上の一連の操作を繰り返し$n$回行った後に，袋の中にある球に書かれている$n+1$個の数の合計を$X_n$とする．例えば$X_1$は常に$1$である．以下$n\geqq 2$として次の問に答えよ．

(1)　$X_n\geqq {\displaystyle \frac{(n+2)(n-1)}{2}}$である確率を求めよ．

(2)　$X_n\leqq n+1$である確率を求めよ．

【１】　$0$でない実数$a\text{，}b\text{，}c$は次の条件(ⅰ)と(ⅱ)を満たしながら動くものとする．

(ⅰ)　$1+c^2\leqq 2a$．

(ⅱ)　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=a{x}^2$と$C_2\text{：}y=b{(x-1)}^2+c$は接している．

ただし，$2$つの曲線が接するとは，ある共有点において共通の接線をもつことであり，その共有点を接点という．

(1)　$C_1$と$C_2$の接点の座標を$a$と$c$を用いて表せ．

(2)　$C_1$と$C_2$の接点が動く範囲を求め，その範囲を図示せよ．

【３】　$\alpha$は$0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とし，四角形$\mathrm{ABCD}$に関する次の$2$つの条件を考える．

(ⅰ)　四角形$\mathrm{ABCD}$は半径$1$の円に内接する．

(ⅱ)　$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{DAB}=\alpha$．

　条件(ⅰ)と(ⅱ)を満たす四角形の中で，$4$辺の長さの積

$k=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CD}\cdot \mathrm{DA}$

が最大となるものについて，$k$の値を求めよ．

【４】　コインを$n$回投げて複素数$z_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_n$を次のように定める．

(ⅰ)　$1$回目に表が出れば$z_1={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とし，裏が出れば$z_1=1$とする．

(ⅱ)　$k=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$のとき，$k$回目に表が出れば$z_k={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}{z}_{k-1}$とし，裏が出れば$z_k=\overline{z_{n-1}}$とする．ただし，$\overline{z_{k-1}}$は$z_{k-1}$の共役複素数である．

このとき，$z_n=1$となる確率を求めよ．

【５】　曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(t,\log t)$における法線上に，点$\mathrm{B}$を$\mathrm{AB}=1$となるようにとる．ただし$\mathrm{B}$の$x$座標は$t$より大きいとする．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標$(u(t),v(t))$を求めよ．また$({\displaystyle \frac{du}{dt}},{\displaystyle \frac{dv}{dt}})$を求めよ．

(2)　実数$r$は$0<r<1$を満たすとし，$t$が$r$から$1$まで動くときに点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が描く曲線の長さをそれぞれ$L_1(r)\text{，}{L}_2(r)$とする．このとき，極限$\underset{r\to +0}{\lim }(L_1(r)-L_2(r))$を求めよ．