2018　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上の曲線$C_1\text{：}y=\log x\text{（}x>0\text{）}$と曲線$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{(\log x)}^2-4\text{（}x>0\text{）}$を考える．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点をすべて求めよ．

(2)　$C_2$の接線で原点を通るものをすべて求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】(1)　$r$を正の実数とし，$\theta$を実数とする．絶対値が$r$の複素数$z$に対して複素数$w$を

$w=z(\cos \theta +i\sin \theta )$

で定める．複素数$w-z$の絶対値$|w-z|$を求めよ．

(2)　$\theta$と$\alpha$を実数とする．絶対値が$1$の複素数$z_1$に対して複素数$z_2\text{，}{z}_3$を

$z_2=z_1(\cos \theta +i\sin \theta )\text{，}{z}_3=z_1(\cos \alpha +i\sin \alpha )$

で定める．

(ⅰ)　複素数${\displaystyle \frac{z_3}{z_2}}$の実部と虚部を求めよ．

(ⅱ)　$|(z_3-z_1)(z_3-z_2)|$を求めよ．

(ⅲ)　$\alpha$が$\alpha =2\theta$を満たし，$\theta$が$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くときの$|(z_3-z_1)(z_3-z_2)|$の最大値を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．$xy$平面上の直線$C_1\text{：}y=ax$と曲線$C_2\text{：}y=(2x-x^2)e^x$を考える．$C_1$と$C_2$の共有点の個数を$N(a)$で表す．$N(a)$を求めよ．ただし，必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^x=0$であることを証明なしに用いてよい．

【４】　数列$\{a_n\}$の一般項が$a_n=(2n+1)(3n+2)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられている．数列$\{b_n\}$は，整数$a_n$が$2$でも$3$でも割り切れないような自然数$n$を小さいものから順に並べてできる数列とする．$b_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．