2018　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　$xyz$空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,0,6)\text{，}\mathrm{B}(2,-3,-5)\text{，}\mathrm{C}(-1,1,3)$を考える．次の条件を満たす点$\mathrm{P}$を求めよ．

条件：点$\mathrm{P}$は$2$点$\mathrm{D}(0,5,0)\text{，}\mathrm{E}({\displaystyle \frac{5}{2}},0,0)$を通る直線$\mathrm{DE}$の上にあり，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CP}$は$1$点で交わる．

【２】　関数$f(x)=\log (x^2+2)$を考える．ただし，対数は自然対数である．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，変曲点を求めよ．

(2)　正の実数$x$に対して，不等式

$\log 2<f(x)<\log 2+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$a$を正の実数とする．$xy$平面上の曲線$y={\displaystyle \frac{f(x)}{x}}$と$x$軸および$2$直線$x=a\text{，}x=3a$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．極限$\underset{a\to +0}{\lim }S(a)$を求めよ．

【３】　不定積分${\displaystyle \int }\{\log (3+{\cos }^2\theta )\}\cos \theta d\theta$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

【４】　$N$は$3$以上の自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$3\text{，}5\text{，}8$から重複を許して$N$個取って並べる順列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{N-1}\text{，}{a}_N$のうち，等式${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{a}_n=3N+2$を満たすものは何通りあるか．

(2)　$3\text{，}5\text{，}8$から重複を許して$N$個取って並べる順列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{N-1}\text{，}{a}_N$のうち，不等式${\displaystyle \sum _{n=1}^N}{a}_n\leqq 3N+5$を満たすものは何通りあるか．

(3)　$3\text{，}5\text{，}8$から重複を許して$N$個取って並べる順列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{N-1}\text{，}{a}_N$のうち，次の$2$つの不等式をともに満たすものは何通りあるか．

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N-1}}{a}_n\leqq 3N+1\text{，}{\displaystyle \sum _{n=1}^N}{a}_n\geqq 3N+6$