2018　大阪大学　前期MathJax

【１】　関数$f(t)=(\sin t-\cos t)\sin 2t$を考える．

(1)　$x=\sin t-\cos t$とおくとき，$f(t)$を$x$を用いて表せ．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq \pi$の範囲を動くとき，$f(t)$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$1$個のさいころを$3$回投げる試行において，$1$回目に出る目を$2\text{，}2$回目に出る目を$b\text{，}3$回目に出る目を$c$とする．

(1)　${\displaystyle {\int }_a^C}(x-a)(x-b)dx=0$である確率を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が$2$以上かつ$2{\log }_{a}b-2{\log }_{a}c+{\log }_{b}c=1$である確率を求めよ．

【３】　座標空間に$6$点

$\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,1,0)\text{，}$ $\mathrm{D}(-1,0,0)\text{，}$$\mathrm{E}(0,-1,0)\text{，}$$\mathrm{F}(0,0,-1)$

を頂点とする正八面体$\mathrm{ABCDEF}$がある．$s\text{，}t$を$0<s<1\text{，}0<t<1$を満たす実数とする．線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$をそれぞれ$1-s:s$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{FD}\text{，}\mathrm{FE}$をそれぞれ$1-t:t$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．

(1)　$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$が同一平面上にあることを示せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{L}$とし，線分$\mathrm{RS}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$s\text{，}t$が$0<s<1\text{，}0<t<1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{LM}$の長さの最小値$m$を求めよ．

(3)　正八面体$\mathrm{ABCDEF}$の$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$を通る平面による切り口の面積を$X$とする．線分$\mathrm{LM}$の長さが(2)の値$m$をとるとき，$X$を最大とするような$s\text{，}t$の値と，そのときの$X$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$の範囲で不等式

$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}<\log (1+x)<{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x}}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$x$が$x>0$の範囲を動くとき，

$y={\displaystyle \frac{1}{\log (1+x)}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$

のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を正の実数とし，$f(x)=x^4-a{x}^3+b{x}^2-ax+1$とする．

(1)　$c$を実数とし，$f(x)$が$x-c$で割り切れるとする．このとき，$c>0$であり，$f(x)$は$(x-c)(x-{\displaystyle \frac{1}{c}})$で割り切れることを示せ．

(2)　$f(x)$がある実数$s\text{，}t\text{，}u\text{，}v$を用いて

$f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v)$

と因数分解できるとき，$a\geqq 4$が成り立つことを示せ．

(3)　$a=5$とする．$f(x)$がある実数$s\text{，}t\text{，}u\text{，}v$を用いて

$f(x)=(x-s)(x-t)(x-u)(x-v)$

と因数分解できるような自然数$b$の値をすべて求めよ．

【３】　$2$つの関数

$f(t)=2\sin t+\cos 2t\text{，}g(t)=2\cos t+\sin 2t$

を用いて定義される座標平面上の曲線

$C\text{：}x=f(t)\text{，}y=g(t)(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．

(1)　$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$f(t)$および$g(t)$の最大値を求めよ．

(2)　$t_1\text{，}{t}_2$を$0\leqq t_1<t_2\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$かつ$f(t_1)=f(t_2)$を満たす実数とする．このとき，${g(t_1)}^2-{(g(t_2)}^2>0$が成り立つことを示せ．

(3)　$C$と直線$x=1$が囲む領域の面積$S$を求めよ．

【５】　$p\text{，}q$を$0<p<1\text{，}0<q<1$を満たす実数とし，$n$を$2$以上の整数とする．$2$つのチーム$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が野球の試合を$n$回行う．$1$試合目に$\mathrm{A}$が勝つ確率は$p$であるとする．また，$\mathrm{A}$が勝った試合の次の試合に$\mathrm{A}$が勝つ確率は$p$であり，$\mathrm{B}$が勝った試合の次の試合に$\mathrm{A}$が勝つ確率は$q$であるとする．なお，試合結果に引き分けはなく，勝敗が決まるとする．

(1)　$n$試合目に$\mathrm{A}$が勝つ確率$a_n$を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$とする．$\mathrm{B}$が連勝せずにちょうど$2$試合に勝つ確率$b_n$を求めよ．