2018　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　$0<a<1$のとき，座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,a)$をとり，第$1$象限の点$\mathrm{P}(p_1,p_2)$を考える．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を直線$\mathrm{BQ}$上に$\mathrm{QP}=\sqrt{2}$となるようにとる．$p_1\text{，}{p}_2$を$a$を用いて表せ．

(2)　さらに$\mathrm{AP}=\sqrt{2}$のとき，$a$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，$\angle \mathrm{ABQ}$を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　透明な$6$枚の長方形の板に，次のように文字が書かれている．

$\boxed{\text{A}}\boxed{\text{A}}\boxed{\text{D}}\boxed{\text{H}}\boxed{\text{I}}\boxed{\text{S}}$

そのすべてを横$1$列に並べる．ただし，たとえばのように表裏どちらになってもよいし，板のまわりに$180$度回転していてもよいとする．このとき，$\boxed{\text{D}\text{A}\text{I}\text{S}\text{H}\text{A}}$となる確率を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(2)　異なる$4$つの都市$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の間を$n$回渡り歩くとき，次の都市へは等確率で訪れることにする．ただし，連続して同じ都市を訪れることはしない．都市$\mathrm{A}$から出発するとき，$k$回（$3\leqq k\leqq n$）渡り歩いて初めてすべての都市を訪れる確率を求めよ．

【３】　複素数平面において，次の問に答えよ．

(1)　異なる$2$点$w_1\text{，}{w}_2$を通る直線上の点$z$を媒介変数$t$を用いて表せ．

(2)　(1)において$t$を消去し，$z$と$\bar{z}$の関係式を求めよ．

(3)　$w_1\text{，}{w}_2$を結ぶ線分の垂直二等分線を，$\alpha z+\beta \bar{z}=\gamma$の形で表せ．ただし，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$は$w_1\text{，}{w}_2$で表されるものとする．

(4)　実軸および虚軸上にない点$\mathrm{A}(w)$と点$\mathrm{B}(\bar{w})$について，$▵\mathrm{OAB}$の外心に対応する複素数$v$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

【４】　次の極限値を求めよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n+k}}$

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^4}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{k}^2\sqrt{n^2-k^2}}$

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{(2n)!}{n!n^n}}\right)}^{1/n}$