2018　神戸大学　前期MathJax

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$t\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\angle \mathrm{PQR}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$t$の値を求めよ．

(3)　$t$が(2)で求めた値をとるとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$x_1=2$であり，$x_{n+1}\text{（}n\geqq 1\text{）}$は点$(x_n,f(x_n))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸の交点の$x$座標とする．

以下の問に答えよ．

(1)　点$(t,f(t))$における曲線$y=f(x)$の接線の方程式を求めよ．また$t\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$のときに，その接線と$x$軸の交点の$x$座標を求めよ．

(2)　$x_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}$を示せ．また$x_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$|x_{n+1}-x_n|<{\displaystyle \frac{3}{4}}\times {10}^{-5}$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし$0.301<{\log }_{10}2<0.302\text{，}0.477<{\log }_{10}3<0.478$は用いてよい．

$x^2-ax+b=0\cdots$(＊)

を考える．以下の問に答えよ．

(1)　(＊)が$x=1$を解にもつ確率を求めよ．

(2)　(＊)が整数を解にもつとする．このとき(＊)の解は共に正の整数であり，また少なくとも$1$つの解は$3$以下であることを示せ．

(3)　(＊)が整数を解にもつ確率を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{k}}((k-1)x+{\displaystyle \frac{1}{x^{k-1}}})$

とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$x>0$において，関数$y=f(x)$の増減と漸近線を調べてグラフの概形をかけ．

(2)　数列$\{x_n\}$が$x_1>1\text{，}{x}_{n+1}=f(x_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとき，$x_n>1$を示せ．

(3)　(2)の数列$\{x_n\}$に対し，

$x_{n+1}-1<{\displaystyle \frac{k-1}{k}}(x_n-1)$

を示せ．また$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

(1)　$\alpha$の絶対値を求めよ．

(2)　$\theta$を$\alpha$の偏角とする．$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$S$を最大にする$\theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とそのときの整式$f(x)$を求めよ．

(1)　直線$\mathrm{OC}$上にない点$\mathrm{P}(x,y,z)$から直線$\mathrm{OC}$におろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{HP}}$を$x\text{，}y\text{，}z$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y,z)$が$L$の点であるための条件は

$z^2\leqq 2xy$かつ$0\leqq x+y\leqq 2$

であることを示せ．

(3)　$1\leqq a\leqq 2$とする．$L$を平面$x=a$で切った切り口の面積$S(a)$を求めよ．

(4)　立体$\{(x,y,z)|(x,y,z)\in L\text{，}1\leqq x\leqq 2\}$の体積を求めよ．