2018　神戸大学　後期MathJax

(1)　$S$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$b$の値を固定し，$a$の値のみを変化させるとき，$S$が最大となる$a$を$b$の式で表せ．

(3)　$a\text{，}b$の値をともに変化させるとき，$S$の最大値を$M$とおく．$M^2$を求め，$S<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を示せ．

(1)　$a<b$ならば$f(a)<f(b)$であることを示せ．また$f(\log \sqrt{3})$を求めよ．

(2)　　関数$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく．

${\displaystyle {\int }_1^{\frac{3\sqrt{3}}{2}}}g(x)dx$

を求めよ．

(1)　$A_{n+6}-A_n$は$3$で割り切れることを示せ．

(2)　$1\leqq n\leqq 2018$かつ$a_n=1$を満たす$n$の個数を求めよ．

(3)　$1\leqq n\leqq 2018$かつ$b_n=2$を満たす$n$の個数を求めよ．

$f_{n+1}(x)=|f_n(x)-1|$

と定める．以下の問に答えよ．

(1)　$y=f_2(x)\text{，}y=f_3(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$0\leqq x\leqq \sqrt{n-1}$において

$0\leqq f_n(x)\leqq 1$

であることと，$\sqrt{n-1}\leqq x$において

$f_n(x)=x^2-(n-1)$

であることを示せ．

(3)　$n\geqq 2$とする．$y=f_n(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．$S_n+S_{n+1}$を求めよ．

(1)　正の数$a$で

${\displaystyle {\int }_0^a}f(t)dt=a$

を満たすものがただ$1$つ存在することを示せ．

(2)　(1)の$a$に対し，$\log 2<b<a$を満たす$b$をとる．$b\leqq x\leqq a$において

$0\leqq {\displaystyle {\int }_0^a}f(t)dt-{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt\leqq f(b)(a-x)$

を示せ．

(3)　(1)の$a$に対し，$\log 2<b<a$を満たす$b$をとる．数列$\{x_n\}$を$x_1=b\text{，}$

$x_{n+1}={\displaystyle {\int }_0^{x_n}}f(t)dt\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定める．このとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$

を示せ．