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2018 奈良女子大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【1】 四角形 ABCD において, a =DA b = AB c =BC d =CD として,ベクトル p p= |d | a +|a | b+ |b | c+ |c | d で定める.以下の問いに答えよ.

(1)  d a b c で表せ.

(2) 辺 AD と辺 BC は平行であるとする. p =0 は,四角形 ABCD が平行四辺形であるための必要十分条件であることを示せ.

2018 奈良女子大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【2】  1 から 5 までの番号がつけられた 5 枚のカードが箱に入っている. 1 枚のカードを取り出し,カードの番号が奇数のときは箱に戻し,偶数のときは箱へ戻さない.この試行を 3 回繰り返す.以下の問いに答えよ.

(1)  2 回目の試行の後,箱の中のカードが 4 枚である確率を求めよ.

(2)  3 回目の試行で取り出したカードの番号が 3 である確率を求めよ.

(3)  3 回目の試行で取り出したカードの番号が 3 であるとき, 1 回目の試行で取り出したカードの番号も 3 である確率を求めよ.

2018 奈良女子大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x )=x -1-log x x>0 のグラフを C とする. C 上の点 ( p,p-1 -logp ) における接線を l とし, l x 軸の交点の x 座標を r とする.ただし p >1 とする.以下の問いに答えよ.

(1) 関数 f (x ) の増減,極値,およびグラフの凹凸を調べ, C の概形をかけ.ただし limx f (x) = であることは用いてよい.

(2)  l の方程式を求めよ.

(3)  r p を用いて表せ.

(4)  C l および x 軸で囲まれる図形の面積を S とする. S p を用いて表せ.

2018 奈良女子大学 前期

生活環境学部

易□ 並□ 難□

【4】 座標平面上に 3 O ( 0,0 ) A (1 ,0) B ( 0,1 ) をとり,線分 AB OB OA 上に,それぞれ点 C D E AOC=BAD =OBE= θ となるようにとる.ただし 0 ° <θ<45 ° とする.また,線分 OC と線分 BE の交点を P 線分 OC と線分 AD の交点を Q とし, t=tan θ とする.以下の問いに答えよ.

(1)  P および Q の座標を t を用いて表せ.

(2)  P が線分 OC s :(1 -s) に内分するとき, Q x 座標を s で表せ.ただし 0 <s<1 とする.

(3)  P が線分 OC 3 :2 に内分するとき, Q P と一致することを示せ.また,そのときの t の値を求めよ.

2018 奈良女子大学 前期

生活環境学部

易□ 並□ 難□

【5】 以下の問いに答えよ.

(1)  2 つの不等式 3 x+y 36 x 2+y 36 を同時にみたす自然数の組 ( x,y ) の個数を求めよ.

(2)  n を自然数とする. 2 つの不等式 n x+y 4 n2 x 2+y 4n2 を同時にみたす自然数の組 ( x,y ) の個数を n を用いて表せ.

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生活環境学部

易□ 並□ 難□

【6】 以下の問いに答えよ.

(1) 連続した 6 個の自然数のうち, 6 と互いに素であるものがちょうど 2 個あることを示せ.

(2) (1)で存在することを示した 2 個の自然数は互いに素であることを示せ.

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