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2018-10631-0101
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2018 奈良女子大学 前期
理学部
易□ 並□ 難□
【1】 四角形 ABCD において, a→ =DA→ , b →= AB→ , c→ =BC→ , d→ =CD→ として,ベクトル p → を p→= |d→ |⁢ a→ +|a → |⁢ b→+ |b→ |⁢ c→+ |c → | ⁢d→ で定める.以下の問いに答えよ.
(1) d→ を a→ , b → , c→ で表せ.
(2) 辺 AD と辺 BC は平行であるとする. p→ =0→ は,四角形 ABCD が平行四辺形であるための必要十分条件であることを示せ.
2018-10631-0102
【2】 1 から 5 までの番号がつけられた 5 枚のカードが箱に入っている. 1 枚のカードを取り出し,カードの番号が奇数のときは箱に戻し,偶数のときは箱へ戻さない.この試行を 3 回繰り返す.以下の問いに答えよ.
(1) 2 回目の試行の後,箱の中のカードが 4 枚である確率を求めよ.
(2) 3 回目の試行で取り出したカードの番号が 3 である確率を求めよ.
(3) 3 回目の試行で取り出したカードの番号が 3 であるとき, 1 回目の試行で取り出したカードの番号も 3 である確率を求めよ.
2018-10631-0103
【3】 関数 f ⁡(x )=x -1-log ⁡x ( x>0 ) のグラフを C とする. C 上の点 ( p,p-1 -log⁡p ) における接線を l とし, l と x 軸の交点の x 座標を r とする.ただし p >1 とする.以下の問いに答えよ.
(1) 関数 f ⁡(x ) の増減,極値,およびグラフの凹凸を調べ, C の概形をかけ.ただし limx→ ∞f⁡ (x) =∞ であることは用いてよい.
(2) l の方程式を求めよ.
(3) r を p を用いて表せ.
(4) C と l , および x 軸で囲まれる図形の面積を S とする. S を p を用いて表せ.
2018-10631-0104
生活環境学部
【4】 座標平面上に 3 点 O ( 0,0 ), A (1 ,0) ,B ( 0,1 ) をとり,線分 AB , OB ,OA 上に,それぞれ点 C ,D , E を ∠ AOC=∠BAD =∠OBE= θ となるようにとる.ただし 0⁢ ° <θ<45⁢ ° とする.また,線分 OC と線分 BE の交点を P , 線分 OC と線分 AD の交点を Q とし, t=tan⁡ θ とする.以下の問いに答えよ.
(1) P および Q の座標を t を用いて表せ.
(2) P が線分 OC を s :(1 -s) に内分するとき, Q の x 座標を s で表せ.ただし 0 <s<1 とする.
(3) P が線分 OC を 3 :2 に内分するとき, Q は P と一致することを示せ.また,そのときの t の値を求めよ.
2018-10631-0105
【5】 以下の問いに答えよ.
(1) 2 つの不等式 3 ⁢x+y ≧36 と x 2+y≦ 36 を同時にみたす自然数の組 ( x,y ) の個数を求めよ.
(2) n を自然数とする. 2 つの不等式 n ⁢x+y ≧4⁢ n2 と x 2+y≦ 4⁢n2 を同時にみたす自然数の組 ( x,y ) の個数を n を用いて表せ.
2018-10631-0106
【6】 以下の問いに答えよ.
(1) 連続した 6 個の自然数のうち, 6 と互いに素であるものがちょうど 2 個あることを示せ.
(2) (1)で存在することを示した 2 個の自然数は互いに素であることを示せ.