2018　島根大学　前期MathJax

(1)　不定方程式$6x+2y=1$は整数解をもたない．その理由を述べよ．

(2)　不定方程式$43x+24y=2$の整数解をユークリッドの互除法を用いて一組求めよ．

(3)　不定方程式$43x+24y=2$の整数解のうち，$\left|x\right|\leqq 30$かつ$\left|y\right|\leqq 30$をみたすものをすべて求めよ．

(1)　点$\mathrm{A}(1,0,0)$と$\mathrm{B}(0,0,1)$に対して，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{OPQ}$の外接円の面積を求めよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　直線$l_1$の方程式を求めよ．また，曲線$y=f(x)$と直線$l_1$で囲まれた図形の面積$S_1(a)$を求めよ．

(3)　直線$l_2$の方程式を求めよ．また，曲線$y=f(x)$と直線$l_2$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1(a)}{S_2(a)}}$の値を求めよ．

(1)　$n$が$3$で割って$1$余る自然数であるとき，$1+n+n^2$は$3$の倍数であることを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対し，$n(n+1)(1+n+n^2)$は$3$の倍数であることを示せ．

(3)　すべての自然数$n\text{，}k$に対し，

$n(n+1)(n+2)\cdots (n+k)(1+n+n^2+\cdots +n^{k+1})$

は$k+2$の倍数であることを示せ．

$\{\begin{array}{l}x=\sin t\text{，}\\ y=y(t)\text{，}y(0)=y\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=0\end{array}$

と媒介変数表示される動点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡とする．また，$0<x<1$のとき，$\mathrm{P}(x,y)$における曲線$C$の接線の傾きは

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2-\pi x}{\pi \sqrt{1-x^2}}}$

で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　時刻$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のときの点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の傾きを求めよ．

(2)　時刻$t(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$における点$\mathrm{P}$の$y$軸方向の速度${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$を$t$を用いて表せ．

(3)　$y(t)$を$t$を用いて表せ．

(4)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

(ⅰ)　$\mathrm{OA}=1$

(ⅱ)　$\angle \mathrm{APO}=60\mathrm{°}\text{，}0\mathrm{°}<\angle \mathrm{AOP}<90\mathrm{°}\text{，}0\mathrm{°}<\angle \mathrm{OAP}<90\mathrm{°}$

直線$\mathrm{AP}$に関して$\mathrm{O}$と対称な点を$\mathrm{B}$とし，直線$\mathrm{BP}$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とおき，線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{C}$が一直線上にあることを示せ．

(2)　$x=\mathrm{OM}\text{，}y=\mathrm{AM}$とするとき，線分$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BQ}$の長さをそれぞれ$x\text{，}y$を用いて表せ．

(3)　$\theta =\angle \mathrm{AOB}$とする．条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたす$▵\mathrm{AOP}$のうちで，線分$\mathrm{OC}$の長さが最大となる場合の$\theta$の値を求めよ．

(1)　$p(4,2)$を求めよ．

(2)　$p(2k,k)$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}p(2k,k)$を求めよ．ただし，$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{m}{2^m}}=0$であることを用いてもよい．