2018　島根大学　後期総合理工学部MathJax

(1)　直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{PS}$の長さを$c$とするとき，$c$を$v_1$と$v_2$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{PR}$の長さをそれぞれ$a\text{，}b$とするとき，次が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{2}{c}}$

(1)　$a$を定数とする．関数$f(x)$が微分可能なとき，

$f^{\prime }(x)+af(x)=e^{-ax}{(f(x)e^{ax})}^{\prime }$

が成り立つことを示せ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{3x}\cos 2xdx$を求めよ．

(3)　等式

$f(x)=\sin 2x-3{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

をみたす関数$f(x)$を求めよ．

(4)　$n$を自然数とする．(3)で求めた関数$f(x)$に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }f(n\pi )$を求めよ．

$f(\theta )=\sin 2\theta -2a(\sin \theta +\cos \theta )$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin \theta +\cos \theta$とするとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(\theta )$を$t$の式で表せ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$f(\theta )$の最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値をすべて求めよ．

(4)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，不等式$f(\theta )>-3$が常に成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

(1)　$a$を求めよ．

(2)　$0<k<a$とし，直線$y=k$と直線$l$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$直線$y=k$と曲線$C$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}$点$({\displaystyle \frac{3}{4}},0)$を$\mathrm{R}$とするとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積$S(k)$を$k$を用いて表せ．

(3)　$S(k)$の$0<k<a$における最大値を求めよ．