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2018 山口大学 前期

文系,理系α

国際総合科,経済,教育(教育学,心理学,技術,情報教育,数学),理(物理・情報科,地球圏システム科学科),工,農,共同獣医学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 空間内の 3 A ( 1,3, -2) B ( 3,2, -1) C ( 2,1, 3) について,次の問いに答えなさい.

(1)  BAC= θ とするとき, cosθ の値を求めなさい.

(2)  ABC の面積 S を求めなさい.

(3)  ABC を含む平面に垂直なベクトルを ( x,y, 1) と表すとき, x y の値をそれぞれ求めなさい.

(4) 原点を O とするとき,四面体 OABC の体積 V を求めなさい.

2018 山口大学 前期

文系,理系α

国際総合科,経済,教育(教育学,心理学,技術,情報教育,数学),理(物理・情報科,地球圏システム科学科),工,農,共同獣医学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面において,連立不等式

x0 y0 y- x+8 y- 2x+ 12

の表す領域を D とし, a を正の定数とする.点 ( x,y ) が領域 D 内を動くとき, ax+ y の最大値を M とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)  2 直線 y =-x+ 8 y =-2 x+12 の交点を求め,領域 D を図示しなさい.

(2)  0<a <1 のとき, M の値を求めなさい.

(3)  1a のとき, a を用いて M を表しなさい.

2018 山口大学 前期

文系

国際総合科,経済,教育(教育学,心理学,技術),農,共同獣医学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 箱の中に 1 から 9 までの番号が 1 つずつ書かれた 9 枚のカードが入っている.このとき,次の問いに答えなさい.

(1) 箱からカードを同時に 2 枚取り出すとする.取り出した 2 枚に書かれた番号が続きになっている確率を求めなさい.ただし, 2 枚に書かれた番号が続きになっているというのは, 4 5 のように,一方の番号が他方の番号より 1 だけ大きいかあるいは 1 だけ小さい場合である.

(2) 箱からカードを同時に 3 枚取り出すとする.取り出したカードのうち少なくとも 2 枚に書かれた番号が続きになっている確率を求めなさい.

(3) 箱からカードを同時に 4 枚取り出すとする.取り出したカードのうち少なくとも 2 枚に書かれた番号が続きになっている確率を求めなさい.

2018 山口大学 前期

文系

国際総合科,経済,教育(教育学,心理学,技術),農,共同獣医学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】  a を正の定数とし, f( x)= x2 (x- 3a ) とおく.座標平面上の曲線 y =f( x) C とし,曲線 C 上の点 P ( -a,f (-a ) ) における接線を l とする.接線 l が点 P 以外で曲線 C と交わる点を Q とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1) 点 Q の座標を a を用いて表しなさい.

(2) 線分 PQ と曲線 C で囲まれる図形の面積 S a を用いて表しなさい.

(3) 曲線 C 上の点 R ( a,f (a) ) を考える.線分 PQ 線分 RQ および曲線 C で囲まれる図形の面積を T 1 とする.また,線分 RQ と曲線 C で囲まれる図形の面積を T 2 とする.このとき, T 1T2 を求めなさい.

2018 山口大学 前期

理系α

教育(教育学,心理学,技術),理(物理・情報科,地球圏システム科学科),工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 次の条件によって定められる数列 { an } がある.

a1= 1 a n+1 =an 2-a n+ 34 n= 1 2 3

このとき,次の問いに答えなさい.

(1)  bn= an- 12 とおくとき,初項 b 1 の値を求め,さらに b n を用いて b n+1 を表しなさい.

(2) (1)で定められた数列 { bn } の一般項を求めることにより, limn an を求めなさい.

2018 山口大学 前期

理系α

教育(教育学,心理学,技術),理(物理・情報科,地球圏システム科学科),工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】 次の問いに答えなさい.

(1)  0x π のとき,方程式 3 cosx -2sin 2x =0 を満たす x の値を求めなさい.

(2)  f( x)= e 23 cos xsin x 0x π とするとき, f( x) の最大値を求めなさい.

(3) (2)の f (x ) に対して,曲線 y =f( x) x 軸で囲まれる図形の面積 S を求めなさい.

2018 山口大学 前期

理系β

理(数理科学科),医(医学科)学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1) 方程式 zn=1 の解をすべて求め,極形式で表しなさい.ただし,解 z の偏角 θ 0 θ<2 π とする.

(2) (1)で得られた解を偏角が小さい順に c 0 c 1 c 2 cn- 1 とおく.このとき,すべての k =0 1 2 n-1 に対して,

| ck+ 1- ck| =2 (1- cos 2π n )

が成り立つことを示しなさい.ただし, cn= c0 とする.

(3) (2)の c k に対して Sn= k=0 n-1 | ck+ 1- ck | とするとき, limn Sn を求めなさい.

2018 山口大学 前期

理系β

理(数理科学科),医(医学科)学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 実数 t に対して, xy 平面上で曲線

Cy =-x3 +3 t2x -2t 3 0x 1

を考える. t 0 t1 の範囲を動くとき,曲線 C が通過する領域を図示し,その面積 S を求めなさい.

2018 山口大学 前期

理系β

理(数理科学科),医(医学科)学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】  n を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1) 連続な関数 f (x ) が区間 [ 0,1 ] で増加するとき,

1 n k =1n f ( k-1 n) 01 f( x) dx 1n k= 1n f( kn )

が成り立つことを示しなさい.

(2)  a が正の有理数のとき,

na+ 1 (a+ 1) k=1 nk a (n+ 1) a+1

が成り立つことを示しなさい.ただし, xa が連続な関数であることを証明なしに用いてもよい.

2018 山口大学 前期

理系β

理(数理科学科),医(医学科)学部

配点50点

易□ 並□ 難□

2018年山口大前期理系β【4】2018107410110の図

図: n=5 の場合

【4】  n を自然数とする.正三角形 OAB の各辺を n 等分してできる点を通り,辺 OA OB AB に平行な直線をすべて引く.これらの直線と辺 OA OB AB の中の 3 本によって作られる正三角形のうち,正三角形 OAB からはみ出ないものを考える.そのような正三角形の個数を t n とする.ただし, n=1 のときは正三角形 OAB のみを考えて, t1 =1 とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)  t2 =5 である. t3 の値を求めなさい.

(2)  1 辺が辺 AB 上にある正三角形の個数を n を用いて表しなさい.

(3) 辺 AB 1 点のみを共有する正三角形の個数を, n が偶数と奇数の場合に分け, n を用いて表しなさい.

(4)  un= t2 n-1 とおくとき, un +1- un n を用いて表しなさい.

(5)  n が奇数のとき, n を用いて t n を表しなさい.



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