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2018-10761-0101
2018 徳島大学 前期
理工,医(保健学科)学部
易□ 並□ 難□
【1】 a>0 とする. 0≦x ≦π のとき f ⁡(x )=2 ⁢sin⁡2 ⁢x-a ⁢(sin ⁡x+cos ⁡x) +1 を考える.
(1) t=sin⁡ x+cos⁡ x とおくとき,関数 y =f ⁡(x ) を t を用いて表せ.
(2) (1)のとき, t のとり得る値の範囲を求めよ.
(3) 関数 y =f ⁡(x ) の最大値と最小値を求めよ.ただし,最大値および最小値を与える x の値は求めなくてよい.
2018-10761-0102
【2】 数列 { an } は次と満たす.
a1 =3 ,a n+1 = 4-a na n-1 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
(1) an =bn +2 とおく. bn+ 1 を b n で表せ.
(2) bn= 1 cn とおく.数列 { cn } の一般項を求めよ.
(3) limn →∞ an を求めよ.
2018-10761-0103
理工,医(保健,医学科),歯,薬学部
医(医学科),歯,薬学部は【2】
【3】 0<θ < π4 とする.曲線 y =1 x 上に点 P ( 1,1 ) をとり, ∠POQ= θ となる点 Q (x ,1 x) ( x>0 ) をとる.ただし, O は原点とする.
(1) x2 +1 x2 = 2cos⁡ 2⁢θ が成り立つことを示せ.
(2) ∠POQ= θ となる点 Q はちょうど 2 個存在することを示せ.また, θ= π 6 のとき,その 2 点間の距離を求めよ.
(3) 点 Q を与える 2 点を Q1 (x 1, 1 x1 ), Q2 ( x2, 1 x2 ) ( x1< x2 ) とする.さらに, a1 <0< b1 とし, 4 点 A ( a1, a2 ), B (b 1,b2 ) ,Q 3( -x1 ,- 1x1 ), Q4 ( -x2 ,- 1x2 ) を考える. A , B , Q 1 , Q2 , Q 3 ,Q 4 が原点を中心とする正六角形の頂点になるとき, θ= π 6 となることを示せ.また,このときの A ,B の座標を求めよ.
2018-10761-0104
医(医学科),歯,薬学部は【3】
【4】 曲線 y =e3 ⁢x を C とする. C 上の点 P ( t,e 3⁢t ) における接線および法線と x 軸の交点をそれぞれ Q ( a,0 ) および R ( b,0 ) とする.曲線 C ,2 直線 x =a ,x =t および x 軸で囲まれた部分の面積を S ⁡( t) とする.
(1) PQ:PR= e:9 を満たす t の値を求めよ.
(2) S⁡( t)= e-1 を満たす t の値を求めよ.
(3) ▵PQR の面積を T ⁡( t) とする. limt →∞ e6⁢ t⁢ S⁡( t) T⁡( t) を求めよ.
2018-10761-0105
医(医学科),歯,薬学部
【1】 n を自然数とし, Sn= 1+ 12 +1 3+ ⋯+ 1n とする.
(1) x>0 のとき 12⁢ x+1 <x +1- x< 12⁢ x を示せ.
(2) n≧2 のとき 2 ⁢( n+1 -1) <Sn <2⁢ n-1 を示せ.
(3) limn →∞ Snn を求めよ.
2018-10761-0106
【4】 n を 3 以上の整数とする. n 人がそれぞれ 1 個ずつさいころを持っている. n 人が同時にさいころを投げ,出た目が 2 種類のときは小さい目を出した人を敗退とし,その後の勝負には加わらない.出た目が 1 種類あるいは 3 種類以上のときは誰も敗退しない.敗退しなかった人が 2 人以上のときは同様の勝負を繰り返す.最後に残った 1 人を優勝者とする.ただし, ( 1+x) n= ∑ k=0 nC k n⁢ xk を利用してもよい.
(1) 1 回目の勝負で優勝者が決まる確率を求めよ.
(2) 1 回目の勝負では誰も敗退しない確率を求めよ.
(3) 1 回目の勝負では敗退する人はでるが優勝者は決まらず, 2 回目の勝負で優勝者が決まる確率を求めよ.