2018 徳島大学 前期

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2018 徳島大学 前期

理工,医(保健学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】  a>0 とする. 0x π のとき f (x )=2 sin2 x-a (sin x+cos x) +1 を考える.

(1)  t=sin x+cos x とおくとき,関数 y =f (x ) t を用いて表せ.

(2) (1)のとき, t のとり得る値の範囲を求めよ.

(3) 関数 y =f (x ) の最大値と最小値を求めよ.ただし,最大値および最小値を与える x の値は求めなくてよい.

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理工,医(保健学科)学部

易□ 並□ 難□

【2】 数列 { an } は次と満たす.

a1 =3 a n+1 = 4-a na n-1 n=1 2 3

(1)  an =bn +2 とおく. bn+ 1 b n で表せ.

(2)  bn= 1 cn とおく.数列 { cn } の一般項を求めよ.

(3)  limn an を求めよ.

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理工,医(保健,医学科),歯,薬学部

医(医学科),歯,薬学部は【2】

易□ 並□ 難□

【3】  0<θ < π4 とする.曲線 y =1 x 上に点 P ( 1,1 ) をとり, POQ= θ となる点 Q (x ,1 x) x>0 をとる.ただし, O は原点とする.

(1)  x2 +1 x2 = 2cos 2θ が成り立つことを示せ.

(2)  POQ= θ となる点 Q はちょうど 2 個存在することを示せ.また, θ= π 6 のとき,その 2 点間の距離を求めよ.

(3) 点 Q を与える 2 点を Q1 (x 1, 1 x1 ) Q2 ( x2, 1 x2 ) x1< x2 とする.さらに, a1 <0< b1 とし, 4 A ( a1, a2 ) B (b 1,b2 ) Q 3( -x1 ,- 1x1 ) Q4 ( -x2 ,- 1x2 ) を考える. A B Q 1 Q2 Q 3 Q 4 が原点を中心とする正六角形の頂点になるとき, θ= π 6 となることを示せ.また,このときの A B の座標を求めよ.

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理工,医(保健,医学科),歯,薬学部

医(医学科),歯,薬学部は【3】

易□ 並□ 難□

【4】 曲線 y =e3 x C とする. C 上の点 P ( t,e 3t ) における接線および法線と x 軸の交点をそれぞれ Q ( a,0 ) および R ( b,0 ) とする.曲線 C 2 直線 x =a x =t および x 軸で囲まれた部分の面積を S ( t) とする.

(1)  PQ:PR= e:9 を満たす t の値を求めよ.

(2)  S( t)= e-1 を満たす t の値を求めよ.

(3)  PQR の面積を T ( t) とする. limt e6 t S( t) T( t) を求めよ.

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医(医学科),歯,薬学部

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数とし, Sn= 1+ 12 +1 3+ + 1n とする.

(1)  x>0 のとき 12 x+1 <x +1- x< 12 x を示せ.

(2)  n2 のとき 2 ( n+1 -1) <Sn <2 n-1 を示せ.

(3)  limn Snn を求めよ.

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医(医学科),歯,薬学部

易□ 並□ 難□

【4】  n 3 以上の整数とする. n 人がそれぞれ 1 個ずつさいころを持っている. n 人が同時にさいころを投げ,出た目が 2 種類のときは小さい目を出した人を敗退とし,その後の勝負には加わらない.出た目が 1 種類あるいは 3 種類以上のときは誰も敗退しない.敗退しなかった人が 2 人以上のときは同様の勝負を繰り返す.最後に残った 1 人を優勝者とする.ただし, ( 1+x) n= k=0 nC k n xk を利用してもよい.

(1)  1 回目の勝負で優勝者が決まる確率を求めよ.

(2)  1 回目の勝負では誰も敗退しない確率を求めよ.

(3)  1 回目の勝負では敗退する人はでるが優勝者は決まらず, 2 回目の勝負で優勝者が決まる確率を求めよ.