2018　徳島大学　前期MathJax

【１】　$a>0$とする．$0\leqq x\leqq \pi$のとき$f(x)=2\sin 2x-a(\sin x+\cos x)+1$を考える．

(1)　$t=\sin x+\cos x$とおくとき，関数$y=f(x)$を$t$を用いて表せ．

(2)　(1)のとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．ただし，最大値および最小値を与える$x$の値は求めなくてよい．

【２】　数列$\{a_n\}$は次と満たす．

$a_1=3\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{4-a_n}{a_n-1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_n=b_n+2$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$で表せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{c_n}}$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$上に点$\mathrm{P}(1,1)$をとり，$\angle \mathrm{POQ}=\theta$となる点$\mathrm{Q}(x,{\displaystyle \frac{1}{x}})\text{（}x>0\text{）}$をとる．ただし，$\mathrm{O}$は原点とする．

(1)　$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{2}{\cos 2\theta }}$が成り立つことを示せ．

(2)　$\angle \mathrm{POQ}=\theta$となる点$\mathrm{Q}$はちょうど$2$個存在することを示せ．また，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，その$2$点間の距離を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}$を与える$2$点を${\mathrm{Q}}_1(x_1,{\displaystyle \frac{1}{x_1}})\text{，}{\mathrm{Q}}_2(x_2,{\displaystyle \frac{1}{x_2}})\text{（}{x}_1<x_2\text{）}$とする．さらに，$a_1<0<b_1$とし，$4$点$\mathrm{A}(a_1,a_2)\text{，}\mathrm{B}(b_1,b_2)\text{，}{\mathrm{Q}}_3(-x_1,-{\displaystyle \frac{1}{x_1}})\text{，}{\mathrm{Q}}_4(-x_2,-{\displaystyle \frac{1}{x_2}})$を考える．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}{\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_3\text{，}{\mathrm{Q}}_4$が原点を中心とする正六角形の頂点になるとき，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となることを示せ．また，このときの$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を求めよ．

【４】　曲線$y=e^{3x}$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,e^{3t})$における接線および法線と$x$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}(a,0)$および$\mathrm{R}(b,0)$とする．曲線$C\text{，}2$直線$x=a\text{，}x=t$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．

(1)　$\mathrm{PQ}:\mathrm{PR}=e:9$を満たす$t$の値を求めよ．

(2)　$S(t)=e-1$を満たす$t$の値を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{PQR}$の面積を$T(t)$とする．$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{e^{6t}S(t)}{T(t)}}$を求めよ．

【１】　$n$を自然数とし，$S_n=1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$とする．

(1)　$x>0$のとき${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}<\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$を示せ．

(2)　$n\geqq 2$のとき$2(\sqrt{n+1}-1)<S_n<2\sqrt{n}-1$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{\sqrt{n}}}$を求めよ．

【４】　$n$を$3$以上の整数とする．$n$人がそれぞれ$1$個ずつさいころを持っている．$n$人が同時にさいころを投げ，出た目が$2$種類のときは小さい目を出した人を敗退とし，その後の勝負には加わらない．出た目が$1$種類あるいは$3$種類以上のときは誰も敗退しない．敗退しなかった人が$2$人以上のときは同様の勝負を繰り返す．最後に残った$1$人を優勝者とする．ただし，${(1+x)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{}_{n}C_k{x}^k$を利用してもよい．

(1)　$1$回目の勝負で優勝者が決まる確率を求めよ．

(2)　$1$回目の勝負では誰も敗退しない確率を求めよ．

(3)　$1$回目の勝負では敗退する人はでるが優勝者は決まらず，$2$回目の勝負で優勝者が決まる確率を求めよ．