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2018 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面内の曲線 y =x3 +a x2+ bx+ c が点 ( c,0 ) において x 軸に接しているとする.ただし, a b は実数, c>0 である.以下の問いに答えよ.

(1)  a b をそれぞれ c を用いて表せ.

(2) この曲線と x 軸で囲まれた部分の面積を S とする. S を最小にする c の値を求めよ.

2018 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問いに答えよ.

(1)  n を自然数とするとき, 2n 7 で割った余りを求めよ.

(2) 自然数 m は, 2 進法で 101 6 回連続する表示

101101101101101101 (2 )

をもつとする. m 7 で割った余りを求めよ.

2018 九州大学 前期

文系(文,教育,経済,法,医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 平面上に三角形 ABC と点 O が与えられている.この平面上の動点 P に対し,

L=PA 2+PB 2+PC 2

とおく.以下の問いに答えよ.

(1)  a =OA b = OB c =OC および x =OP とおくとき,次の等式を示せ.

L=3 | x | 2 -2 (a + b +c ) x + | a | 2 + | b | 2 + | c |2

(2)  L を最小にする点 P は三角形 ABC の重心であることを示せ.また, L の最小値は

1 3 (AB 2+BC 2+CA 2)

であることを示せ.

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文系(文,教育,経済,法,医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】  3 つの部品 a b c からなる製品が多数入った箱がある.製品を 1 つ取り出したとき,部品 a b c が不良品である確率について次のことがわかっている.

・部品 a が不良品である確率は p である.

・部品 a が不良品でないとき,部品 b が不良品である確率は q である.

・部品 a が不良品であるとき,部品 b も不良品である確率は 3 q である.

・部品 b が不良品でないとき,部品 c が不良品である確率は r である.

・部品 b が不良品であるとき,部品 c も不良品である確率は 5 r である.

ただし, 0<p <1 0 <q< 1 3 0 <r< 1 5 である.以下の問いに答えよ.

(1) 製品を 1 つ取り出したとき,部品 a b の少なくとも一方が不良品である確率を p q を用いて表せ.

(2) 製品を 1 つ取り出したそき,部品 c が不良品である確率を p q r を用いて表せ.

(3) 製品を 1 つ取り出したところ部品 c が不良品であった.このとき,部品 b も不良品である確率を p q を用いて表せ.

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理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 座標空間において, xy 平面上にある双曲線 x2- y2= 1 のうち x 1 を満たす部分を C とする.また, z 軸上の点 A ( 0,0, 1) を考える.点 P C 上を動くとき,直線 AP と平面 x =d との交点の軌跡を求めよ.ただし, d は正の定数とする.

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理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 原点を中心とする半径 3 の半円 C x2 +y2 =9 y0 上の 2 P Q に対し,線分 PQ 2 :1 に内分する点を R とする.以下の問いに答えよ.

(1) 点 P y 座標と Q y 座標が等しく,かつ P x 座標は Q x 座標より小さくなるように P Q が動くものとする.このとき,線分 PR が通過してできる図形 S の面積を求めよ.

(2) 点 P ( -3,0 ) に固定する. Q が半円 C 上を動くとき線分 PR が通過してできる図形 T の面積を求めよ.

(3) (1)の図形 S から(2)の図形 T を除いた図形と第 1 象限の共通部分を U とする. U y 軸のまわりに 1 回転させてできる回転体の体積を求めよ.

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理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

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【3】  1 から 4 までの数字を 1 つずつ書いた 4 枚のカードが箱に入っている.箱の中から 1 枚カードを取り出してもとに戻す試行を n 回続けて行う. k 回目に取り出したカードの数字を X k とし,積 X1 X2 X n 4 で割った余りが 0 1 2 3 である確率をそれぞれ pn q n r n s n とする. pn qn rn sn を求めよ.

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理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】 整数 a b 3 の倍数ではないとし,

f( x)= 2x 3+a 2x 2+2 b2 x+1

とおく.以下の問いに答えよ.

(1)  f( 1) f (2 ) 3 で割った余りをそれぞれ求めよ.

(2)  f( x)= 0 を満たす整数 x は存在しないことを示せ.

(3)  f( x)= 0 を満たす有理数 x が存在するような組 ( a,b ) をすべて求めよ.

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理系(経済(経済工),工,芸術工,農,医(医,生命科学,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【5】  α を複素数とする.等式

α ( |z |2 +2) +i (2 | α| 2+1 ) z= 0

を満たす複素数 z をすべて求めよ.ただし, i は虚数単位である.

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