2018　九州大学　後期MathJax

【１】　次で定義される数列$\{I_n\}$を考える．

$I_n=2n{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x\sin x{\cos }^{2n-1}xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(1)　次の等式が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{n}xdx={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{n}xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　数列$\{I_n\}$が次の式を満たすことを証明せよ．

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{2n}xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(3)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}(\cos x{\sin }^{n-1}x)$を$\sin x$と$n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{I_n\}$が次の漸化式を満たすことを証明せよ．

$I_n={\displaystyle \frac{2n-1}{2n}}{I}_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

(5)　数列$\{I_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　実数$a\text{，}b$と虚数単位$i$を用いて複素数$z$が$z=a+bi$の形で表されるとき，$a$を$z$の実部といい$a=\mathrm{Re}z$と書き表し，$b$を$z$の虚部といい$b=\mathrm{Im}z$と書き表す．また$z$の絶対値を$\left|z\right|$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)　複素数$u={\displaystyle \frac{5+5\sqrt{3}i}{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}}$を極形式で表せ．

(2)　条件$\mathrm{Re}w\leqq 0\text{，}\mathrm{Im}w\geqq 0\text{，}40\leqq \left|w\right|\leqq 135$を満たす複素数$w$全体のなす領域

$D=\{w|\mathrm{Re}w\leqq 0\text{，}\mathrm{Im}w\geqq 0\text{，}40\leqq \left|w\right|\leqq 135\}$

を考える．このとき，$z^{3}u$が$D$に属するような複素数$z$全体のなす領域

$A=\left\{z\right|z^{3}u\in D\}$

を図示せよ．

(3)　複素数$z$が領域$A$上を動くとき，$z$と$-2$との距離が最小になるような$z$を求めよ．解答に極形式を用いてよい．

【３】　$5$人に「あなたの年齢は$20$代ですか」という質問をする．ただし，各回答者は，「はい」か「いいえ」と答える前にさいころを振り，$1$または$2$の目が出たときは正直に答え，$3$以上の目が出たときは，うその答えを言うものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$5$人のうち$20$代が$1$人もいないとき，「はい」と答える人数が$3$である確率を求めよ．

(2)　$5$人のうち$20$代がちょうど$1$人のとき，「はい」と答える人数が$3$である確率を求めよ．

(3)　$5$人の回答者は街頭調査で出会った人たちとする．ただし，同じ人と繰り返し出会うこともあるとする．街頭調査で出会う人が$20$代である確率が$p$のとき，「はい」と答える人数が$3$である確率を求めよ．

(4)　(3)の確率が最大となる$p$を求めよ．

【４】　$r$を正の実数とする．半径がそれぞれ$r\text{，}$$2r\text{，}$$3r$の$3$つの球$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$と，これらすべてに接する平面$\alpha$がある．ただし，$3$つの球はすべて平面$\alpha$の同じ側で接しているものとする．すなわち，$3$つの球のそれぞれの中心を結ぶ線分は，いずれも平面$\alpha$と交わらないものとする．$3$つの球$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$と平面との接点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$とする．空間において，基点$\mathrm{O}$を定め，$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_2}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_3}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{b}$とすると，$\left|\overrightarrow{a}\right|=3r\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=4r$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60\mathrm{°}$である．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$を平面$\alpha$上にある点とする．球$C_2$の中心と点$\mathrm{Q}$との距離を$d_1\text{，}$球$C_3$の中心と点$\mathrm{Q}$との距離を$d_2$とする．このとき，$d_1+d_2$を最小にする点$\mathrm{Q}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{p}$を用いて表せ．

(2)　$3$つの球$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$C_3$の中心を通る平面$\beta$と，平面$\alpha$との交線を$l$とする．$l$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{p}$と媒介変数$t$を用いて媒介変数表示せよ．

(3)　点$\mathrm{R}$を直線$l$上にある点とする．球$C_2$の中心と点$\mathrm{R}$との距離を最小にする点$\mathrm{R}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{p}$を用いて表せ．

【５】　$2$つの関数$f(x)\text{，}g(x)$をそれぞれ$f(x)=(a+1)x\text{，}g(x)=a{x}^2$とする．ただし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形を座標平面上に図示せよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形の面積$S$を$a$の式で表せ．また，面積$S$が最小となる$a$と，そのときの面積を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形の面積$S$が最小となるとき，この図形を直線$y=f(x)$の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．