2018　佐賀大学　後期MathJax

【１】　点$(0,a)$を中心とする半径$2$の円$C$の周上に$3$点$\mathrm{P}(s,t)\text{，}\mathrm{Q}(-s,t)\text{，}\mathrm{R}(x,y)$をとる．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$の内積を$a\text{，}t\text{，}y$を用いて表せ．

(2)　$a=0\text{，}s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$のとき，(1)の内積の最小値とそのときの$s\text{，}t\text{，}x\text{，}y$の値を求めよ．

(3)　$y=a$のとき，(1)の内積の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

【２】　$k$は定数とする．関数

$f(x)=x^3-3k{x}^2-2k^{2}x$

が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値をとる．ただし，$-1<\alpha <1<\beta$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$\beta -\alpha$を$k$を用いて表せ．

(3)　$f(\alpha )-f(\beta )$を$k$を用いて表せ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$は定数とし，

$f(x)=(a{x}^2+bx+c)e^{-x}$

とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が相異なる$2$つの極値をもつための条件を求めよ．

(2)　$f(x)$がただ$1$つの極値として極大値をもつための条件を求めよ．さらに，$f(x)$が極大値をとる$x$の値$x_0$を求めよ．

(3)　(2)の条件が満たされているとき，$2$直線$y=0\text{，}x=x_0$および曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【４】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$で定義された$2$曲線$C_1\text{：}y=\sin x\text{，}{C}_2\text{：}y=\cos x$および$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$で定義された曲線$C_3\text{：}y=\tan 2x$について，次の問に答えよ．

(1)　$C_2$と$C_3$の交点の$x$座標を$a$とおくとき，$\sin a$の値を求めよ．

(2)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$において，不等式$\sin x<\tan 2x$が成り立つことを示せ．

(3)　$3$曲線$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で$\cos \theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき，$\cos (2\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$の値を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　数列$\{a_n\}$が関係式

$a_1=1\text{，}{\log }_3{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}=2^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとき，一般項$a_n$を求めよ．

【４】　$n\text{，}m$を自然数とし，$p\text{，}q$を相異なる素数とする．ただし，$p\geqq 5$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$n$が積$pq$で割り切れるとき，$n$以下の自然数で$p$の倍数または$q$の倍数となるものの個数$N_1$を$p\text{，}q\text{，}n$を用いて表せ．

(2)　$n=2p^m$であるとき，$n$以下の自然数で$n$と互いに素であるものの個数$N_2$を$p\text{，}m$を用いて表せ．

(3)　$n=6p^m$であるとき，$n$以下の自然数で$n$と互いに素であるものの個数$N_3$を$p\text{，}m$を用いて表せ．