2018　熊本大学　前期MathJax

【１】　$p\text{，}q$を整数とする．関数$f(x)=x^3-p{x}^2+(p^2-2p)x+q$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(x)$が極値をもつときの整数$p$の値をすべて求めよ．

(問２)　方程式$f(x)=0$が負の解$1$つと相異なる正の解$2$つをもつとき，整数$p\text{，}q$の値を求めよ．

【２】　正三角形$\mathrm{ABC}$が半径$1$の円に内接しているとする．$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と異なる点で，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を両端とし点$\mathrm{C}$を含まない弧の上を動くものとする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$\angle \mathrm{PBA}=\theta$とおくとき，$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{PC}$をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．また，$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$の最大値を求めよ．

(問２)　${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2$を求めよ．

【３】　$m\text{，}n$を整数とする．$xy$平面上の$4$点$(m,n)\text{，}(m-1,n)\text{，}(m-1,n-1)\text{，}(m,n-1)$を頂点にもつ正方形を$R_{(m,n)}$と表す．初めに$1$辺の長さが$1$のさいころが$R_{(1,1)}$に$1$の目を上に置かれている．$1$枚の硬貨を投げて表が出たらさいころを$x$軸方向に$+1$だけ転がして移し，裏が出たら$y$軸方向に$+1$だけ転がして移す．以下の問いに答えよ．ただし，さいころの向かい合う面の目の数の和は$7$であるとする．

(問１)　硬貨を$5$回投げたあとにさいころが$R_{(3,4)}$の位置にある確率を求めよ．

(問２)　硬貨を$2$回投げたあとにさいころの$6$の目が上にあるという条件の下で，硬貨を$5$回投げたあとにさいころが$R_{(3,4)}$の位置にある条件つき確率を求めよ．

(問３)　硬貨を$5$回投げたあとにさいころの$1$の目が上にある確率を求めよ．

【４】　初項が$1$である数列$\{a_n\}$に対して$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．$\{S_n\}$が

$S_{n+1}=2S_n+n^2+2n\text{（}n\geqq 1\text{）}$

をみたすとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$a_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(問２)　$n\geqq 2$のとき，$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．

(問３)　$n\geqq 2$のとき，$a_n$を$n$の式で表せ．

【１】　$t$を実数とする．空間の$4$点$\mathrm{A}(1,5,0)\text{，}\mathrm{B}(4,2,0)\text{，}\mathrm{C}(t,2t,t-1)\text{，}\mathrm{D}(1,6,1)$について，$\angle \mathrm{BAC}$が直角であるとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$t$の値を求めよ．

(問２)　$\mathrm{D}$から$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面に垂線を下ろし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{HD}}$を求めよ．

(問３)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とする．区間$[0,1]$を$n$等分して，その両端と分点を順に$0=x_0\text{，}{x}_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_{n-1}\text{，}{x}_n=1$とする．関数$f(x)=a{x}^2+bx+c\text{（}a>0\text{，}b\geqq 0\text{，}c>0\text{）}$に対して，区間$[x_{k-1},x_k]$を底辺とし，高さが$f(x_k)$である長方形の面積を$L_k$とする．ただし，$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$である．すべての$n$に対して$L_1+L_n={\displaystyle \frac{10}{n}}+{\displaystyle \frac{8}{n^3}}$であるとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(問２)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{L}_k$を求めよ．

(問３)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2{L}_k$を求めよ．

【４】　$-3\leqq x\leqq 0$に対して，$F(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+3}}\sqrt{3t^2+t^3}dt$とおく．以下の問いに答えよ．

(問１)　$-3<x<0$に対して，$F^{\prime }(x)=0$の解を求めよ．

(問２)　$F(x)$の最小値を求めよ．

【１】　$t$を実数とする．空間の$4$点$\mathrm{A}(1,5,0)\text{，}\mathrm{B}(4,2,0)\text{，}\mathrm{C}(t,2t,t-1)\text{，}\mathrm{D}(1,6,1)$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$▵\mathrm{ABC}$が直角三角形になる$t$の値をすべて求めよ．

(問２)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が同一平面上にあるような$t$の値を求めよ．

(問３)　$\angle \mathrm{BAC}$が直角のとき，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【２】　$m\text{，}n$を整数とする．$xy$平面上の$4$点$(m,n)\text{，}(m-1,n)\text{，}(m-1,n-1)\text{，}(m,n-1)$を頂点にもつ正方形を$R_{(m,n)}$と表す．初めに$1$辺の長さが$1$のさいころが$R_{(1,1)}$に$1$の目を上に置かれている．$1$枚の硬貨を投げて表が出たらさいころを$x$軸方向に$+1$だけ転がして移し，裏が出たら$y$軸方向に$+1$だけ転がして移す．以下の問いに答えよ．ただし，さいころの向かい合う面の目の数の和は$7$であるとする．

(問１)　硬貨を$5$回投げたあとにさいころが$R_{(3,4)}$の位置にある確率を求めよ．

(問２)　硬貨を$2$回投げたあとにさいころの$6$の目が上にあるという条件の下で，硬貨を$5$回投げたあとにさいころが$R_{(3,4)}$の位置にある条件つき確率を求めよ．

(問３)　硬貨を$5$回投げたとき，初めから$5$回目の移動までにさいころの$6$通りの目がすべて上に現れる確率を求めよ．

【３】　複素数平面上で$|z+i|-|z-i|=1$をみたす点$z$の全体を$H$とおく．以下の問いに答えよ．ただし，複素数の偏角$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(問１)　$H$の点$z$に対して，$z$の偏角${\theta }_1$のとりうる値の範囲を求めよ．

(問２)　$H$の点$z$に対して$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$とする．$w$の絶対値$r_2$と偏角${\theta }_2$のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．

【４】　関数$f(x)=\sqrt{3x^2+x^3}\text{（}x\geqq -3\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(x)$の極大値を求めよ．

(問２)　$-3\leqq x\leqq 0$とするとき，$F(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+3}}f(t)dt$の最大値と最小値を求めよ．