2018　琉球大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

問１　今日は日曜日で，$10$日後は水曜日である．$100$日後および$100$万日後はそれぞれ何曜日か，理由とともに答えよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問２　$x$の方程式${\log }_2(x-1)-{\log }_{\frac{1}{2}}(x-4)=1$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

問３　三角形$\mathrm{OAB}$で，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{LM}$と$\mathrm{ON}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【２】　関数$f(x)=x|x-3|\text{（}0\leqq x\leqq 4\text{）}$について，次の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$のグラフをかけ．

問２　微分係数$f^{\prime }(2)$の値を求めよ．

問３　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$の値を求めよ．

【１】　$a$を正の実数とする．関数$f(x)=-x^2+4x$と$g(x)=2|x-a|$について，次の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点が$1$点となるような$a$の値を求めよ．

問２　問１で求めた$a$の値のときに，$y=f(x)$のグラフ，$y=g(x)$のグラフおよび$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

問３　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが異なる$2$点で交わるような$a$の値の範囲と，$2$つの交点の$x$座標を求めよ．

【２】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$a_n=n^2+n+1$とおく．さらに，実数$x_n\text{，}{y}_n$を

$(a_1+i)(a_2+i)(a_3+i)\cdots (a_n+i)=x_n+y_{n}i\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．ただし$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

問１　$x_2\text{，}{y}_2$および$x_3\text{，}{y}_3$を求めよ．

問２　自然数$n$に対して，${\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}={\displaystyle \frac{n}{n+2}}$が成り立つことを示せ．

【３】　関数$y=e^{\sin x+\cos x}\text{（}-\pi \leqq x\leqq \pi \text{）}$の増減，極値，凹凸を調べ，そのグラフをかけ．

【４】　$2$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，どちらの箱にも赤玉と白玉が$1$個ずつ入っている．それぞれの箱から，無作為に玉を$1$個取り出し，取り出した玉を交換して箱に戻す操作を繰り返す．$n$回の操作の後，箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のどちらにも赤玉，白玉が$1$個ずつ入っている確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

問１　$p_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

問２　$p_n$を用いて$p_{n+1}$を表せ．

問３　自然数$n$に対して，$p_n$を求めよ．