2018　公立はこだて未来大学　推薦MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表し，$\angle \mathrm{A}\text{，}\angle \mathrm{B}\text{，}\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A\text{，}B\text{，}C$で表す．

$(a-b){\sin }^{2}C=(a-2b){\sin }^{2}A+(2a-b){\sin }^{2}B$

が成り立つとき，以下の問いに答えよ．

問１　$(a-b)c^2=(a-b)(a^2+b^2-ab)$を示せ．

問２　$▵\mathrm{ABC}$はどのような三角形か答えよ．

【２】　$0\leqq t\leqq 2$をみたす$t$に対し，$S(t)={\displaystyle {\int }_0^2}|x^2-t^2|dx$とする．以下の問いに答えよ．

問１　$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，関数$y=|x^2-t^2|\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$のグラフを描け．

問２　$S(t)$を$t$の$3$次式で表せ．

問３　$S(t)$の最大値および最小値を求めよ．

【３】　投げたときに表が出る確率が$p\text{，}$裏が出る確率が$1-p$である硬貨を$\mathrm{C}$とする．数直線上を動く点$\mathrm{A}$が原点の位置にあり，硬貨$\mathrm{C}$を投げて表が出たときには点$\mathrm{A}$は正の向きに$1$だけ進み，裏が出たときには点$\mathrm{A}$は原点に戻る．また，硬貨$\mathrm{C}$を$n$回投げたとき，点$\mathrm{A}$の位置が$a$である確率を$P(n,a)$とする．ただし，$0<p<1\text{，}n$は自然数，$a$は$n$以下の非負の整数とする．以下の問いに答えよ．

問１　$P(3,0)\text{，}P(3,1)\text{，}P(3,2)\text{，}P(3,3)$をそれぞれ求めよ．

問２　$P(n,a)$を$n\text{，}p\text{，}a$を用いて表せ．

問３　硬貨$\mathrm{C}$を$n$回投げたとき，点$\mathrm{A}$の位置$a$が$n-m$以上である確率が$p$となったとする．$m$を$n$の式で表せ．ただし，$m$は$n$以下の非負の整数とする．