2018　会津大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}}x(x^2-1)dx=\boxed{\text{イ}}$

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{x}^2\sin xdx=\boxed{\text{ロ}}$

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_{-3}^3}|x^2+x-6|dx=\boxed{\text{ハ}}$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(2)　関数$y={(2x)}^x$を微分せよ．$y^{\prime }=\boxed{\text{ニ}}$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(3)　方程式$z^2=i$をみたす複素数$z$をすべて求めよ．$\boxed{\text{ホ}}$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(4)　方程式${\log }_{x}8-{\log }_{2}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$の解を求めよ．$\boxed{\text{ヘ}}$

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(5)　${(2+x)}^{1001}$を展開したときの$x^{999}$の係数を求めよ．$\boxed{\text{ト}}$

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$を考え，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表すと$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体であり，$1$辺の長さが$1$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\boxed{\text{ロ}}$である．

(3)　辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面と線分$\mathrm{OG}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表すと$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\boxed{\text{ハ}}$である．

【３】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

$a_1=4\text{，}{a}_{n+1}=2(S_n-n^2+n+2)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

がなりたつとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$b_n=S_n-n^2$とおくとき，$b_1=\boxed{\text{イ}}$であり，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表すと ，$b_{n+1}=\boxed{\text{ロ}}$である．

(2)　$b_n$を$n$の式で表すと，$b_n=\boxed{\text{ハ}}$である．

(3)　$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=\boxed{\text{ニ}}$である．

【４】　$4$個のサイコロを同時に投げるときに出る目について，以下の問いに答えよ．

(1)　目の和が$5$である確率を求めよ．$\boxed{\text{イ}}$

(2)　目の和が$8$である確率を求めよ．$\boxed{\text{ロ}}$

(3)　目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．$\boxed{\text{ハ}}$

(4)　目の積が$10$の倍数である確率を求めよ．$\boxed{\text{ニ}}$

【５】　関数$f(x)=(x^3+2x^2)e^x$を考える．$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．（結論に至る過程も記述すること．）

(1)　$f(x)$の増減，極値を調べて，$C$を座標平面上に描け．$C$の凹凸，変曲点は調べなくてよい．また，$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$であることは証明なしで用いてよい．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を実数の定数とする．$F(x)=(x^3+a{x}^2+bx+c)e^x$が$F^{\prime }(x)=f(x)$をみたすとき，$F(x)$を求めよ．

(3)　$C$と$x$軸との$2$つの共有点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$と$C$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【６】　$\theta$を$0<\theta <2\pi$をみたす定数とする．次で定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{n+1}=a_n+\cos n\theta \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle \frac{\sin (n\theta -{\displaystyle \frac{\theta }{2}})}{2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}}$

がなりたつことを，数学的帰納法を用いて証明せよ