2018　横浜市立大　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　$p^3+q^3=35$が成り立つような素数$p\text{，}q$の組$(p,q)$をすべて求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　方程式

$\sqrt{{\displaystyle \frac{1+x}{2}}}=1-2x^2$

をみたす実数$x$をすべて求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$の交点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．また，${\mathrm{A}}^{″}\text{，}{\mathrm{C}}^{″}$を$\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{″}}=2\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\prime }}\text{，}\overrightarrow{{\mathrm{CC}}^{″}}=2\overrightarrow{{\mathrm{CC}}^{\prime }}$をみたす点とする．三角形$\mathrm{OBC}\text{，}\mathrm{OAC}\text{，}\mathrm{OAB}$の面積をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするとき，三角形${\mathrm{OA}}^{″}{\mathrm{C}}^{″}$の面積を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を用いて表せ．

【１】　　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)　$6^{74}$の桁数および最高位の数字を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}4=0.6021\text{，}{\log }_{10}5=0.6990\text{，}{\log }_{10}6=0.7782\text{，}{\log }_{10}7=0.8451\text{，}{\log }_{10}8=0.9031\text{，}{\log }_{10}9=0.7542$とする．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=x^4-x^3+x^2-x+1$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$について，方程式

$f^{\prime }(x)=0$

がただ$1$つの実数解を持つことを証明せよ．

(2)　(1)におけるただ$1$つの実数解を$x_0$とする．このとき

$a\leqq x_0\leqq a+{\displaystyle \frac{1}{4}}$

をみたす実数$a$を$1$つ求めよ．

(3)　不等式

${\displaystyle \frac{5}{8}}<f(x_0)<{\displaystyle \frac{11}{16}}$

を証明せよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を素数でない$4$以上の整数とする．このとき，$n^2$の約数$d$で，$n<d<n^2$をみたすものが存在することを証明せよ．

(2)　整数${\displaystyle \sum _{k=0}^{50}}{}_{101}C_k$の約数の個数を求めよ．

(3)　$X=3^4\cdot ({}_{11}C_0+{}_{11}C_1+{}_{11}C_2+{}_{11}C_3+{}_{11}C_4+{}_{11}C_5)$とし，全体集合$U=\{1,2,\cdots ,X\}$を考える．$U$の部分集合$A\text{，}B\text{，}C$を

$A=\{x|x\in U\text{かつ}x\text{は}X\text{の約数}\}$

$B=\{x|x\in U\text{かつ}x\text{は}{X}^2\text{の約数}\}$

$C=\{x|x=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}X-1\}$

とする．

(ア)　$X^2$の約数で，かつ$X$より小さく，$X$の約数でないような整数からなる$U$の部分集合を$D$とする．$D$を$A\text{，}B\text{，}C$を用いて表せ．

(イ)　(ア)における$D$の要素の個数を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　関数$\tan x$の導関数を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}dx$を求めよ．

(3)　$n$を自然数とするとき，

$2n{\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2n+1}x}}dx={\displaystyle \frac{\tan x}{{\cos }^{2n-1}x}}+(2n-1){\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2n-1}x}}dx$

が成り立つことを証明せよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{3}x}}dx$を求めよ．

【５】　箱の中に$10$円硬貨と$5$円硬貨が$p:(1-p)$の割合で入っている．ただし，$0\leqq p\leqq 1$である．この箱から無作為に硬貨を$1$枚取り出してその金額を記録し，その硬貨を箱に戻すという試行を$n$回繰り返す．記録した金額の和を表す確率変数を$X$とする（単位は円とする）．また，$10$円硬貨を取り出す回数を表す確率変数を$M$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p=0.5\text{，}n=3$とする．

(ア)　$X$のとりうる値をすべて書き出し，それらの値をとる確率をそれぞれ求めよ．

(イ)　$X$の期待値$E(X)$と，$X$の分散$V(X)$を求めよ．

(2)　$p=0.5$とする．

(ア)　$M$の従う確率分布を求めよ．

(イ)　$X$を$M$と$n$の式で表せ．

(ウ)　(2)(イ)の関係から，$X$の期待値$E(X)$と$X$の標準偏差$\sigma (X)$を求めよ．

(エ)　${\displaystyle \frac{\sigma (X)}{E(X)}}$が$0.1$未満となるために必要な自然数$n$の最小値を求めよ．

(3)　$n=100$回の試行で$M=64$を得たとする．

(ア)　$p=0.5$としたとき，$M\geqq 64$となる確率を，正規分布による近似を用いて小数点以下第$3$位まで求めよ．

(イ)　$p$の値が未知のとき，正規分布による近似を用いて$p$の信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を小数点以下第$3$位まで求めよ．

(4)　$p$の値が未知のとき，確率変数$R={\displaystyle \frac{M}{n}}$の確率分布を正規分布により近似して$p$の信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めるとする．このとき，信頼区間の幅を$0.1$以下にするために必要な自然数$n$の最小値を求めよ．