2018　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　図のような直方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{CE}$と三角形$\mathrm{AFH}$との交点を$\mathrm{J}$とする．$\mathrm{J}$が三角形$\mathrm{AFH}$の重心となることを示せ．

(2)　線分$\mathrm{CE}$と三角形$\mathrm{BDG}$との交点を$\mathrm{K}$とする．三角形$\mathrm{AEJ}\text{，}$三角形$\mathrm{AJK}\text{，}$三角形$\mathrm{ACK}$の面積がすべて等しくなることを示せ．

【２】　図に示す正方形$\mathrm{ABCD}$上の頂点を左回りに動く点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$がある．点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$は，それぞれ，コインを投げて表ならば$2$つ，裏ならば$1$つ，頂点から頂点へ移動する．コインの表と裏の出る確率は等しいものとする．ただし，最初，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$の位置に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{C}$の位置にいるものとする．まず，コインを$10$回投げて，点$\mathrm{P}$のみ動かす．次にコインを$10$回投げて，点$\mathrm{Q}$のみ動かすものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の位置にいる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が同じ位置にいる確率を求めよ．

【３】　関数$f(x)=a{x}^2+a^2$と$g(x)=a{x}^2-4ax+5a^2$に対して，$xy$平面上の曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}{C}_2\text{：}y=g(x)$を考える．ただし，$a>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の両方に接する直線$l_1$を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の共有点を通る$y$軸に平行な直線を$l_2$とする．$l_1\text{，}{l}_2\text{，}$および$C_1$で囲まれた領域の面積$S_1$を求めよ．

(3)　$l_1\text{，}{l}_2\text{，}$および$C_2$で囲まれた領域の面積を$S_2$とする．面積の比$S_1:S_2$を求めよ．

【４】　円$O\text{：}{x}^2+y^2=1$と直線$l\text{：}y=\sqrt{a^2-1}x+\sqrt{a^2-1}\text{（}a>1\text{）}$の共有点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標の値は，点$\mathrm{B}$の$x$座標の値より小さいものとする．円$O$上の点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は，$\left|\mathrm{AC}\right|=\left|\mathrm{BC}\right|\text{，}\left|\mathrm{AD}\right|=\left|\mathrm{BD}\right|$を満たすものとする．ただし，点$\mathrm{C}$の$x$座標の値は，点$\mathrm{D}$の$x$座標の値より小さいものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を頂点とする四角形の面積$S_0$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を頂点とする四角形に内接する円$O_1$の中心$\mathrm{P}$の座標と，その面積$S_1$を求めよ．ただし，円が四角形に内接するとは，円が四角形の$4$つの辺すべてに接することをいう．

(3)　円$O$の面積を$S$とする．$S:S_1=6:1$となるときの$a$の値と$S_0$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$1$辺の長さが$4$の正四面体に外接する球の半径を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$について

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+3\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$

が成り立っている．三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{BCP}$の面積を$S_2\text{，}$三角形$\mathrm{CAP}$の面積を$S_3$とする．このとき，面積の比$S_1:S_2:S_3$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}$とするとき，$S_5$と極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　関数$y=x^2{e}^{-x}$を微分せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【３】　以下の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\cos xdx$の値を求めよ．

【４】　楕円$O\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{2^2}}+y^2=1$と直線$l\text{：}y={\displaystyle \frac{x}{2}}+k\text{（}k>0\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　楕円$O$と直線$l$が$2$点で交わるときの$k$の条件を求めよ．

(2)　(1)の条件の下で，楕円$O$と直線$l$の交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．このとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．ただし，点$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{D}$は，楕円$O$上に存在するものとする．平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積が最大となるときの$k$の値と，そのときの平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．また，数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とする．このとき，$S_{1000000}$の整数部分を求めよ．