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2018 滋賀県立大学 前期

工,環境科学部

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 y =3x -x3 C とする.また, C 上の点 ( a,3 a-a3 ) における接線を l とする.ただし, a>0 とする.

(1)  l の方程式を求めよ.

(2)  x<0 における C l の交点の座標を求めよ.

(3)  C l で囲まれた部分の面積が 12 となるときの a の値を求めよ.

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工,環境科学部

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【2】 次の(ⅰ),(ⅱ)によって定められる数列 { an } がある.

(ⅰ)  a1 =1

(ⅱ)  n=1 2 3 に対して,曲線 y =x2 +2x +4 x> -1 上で x =an となる点を An とする.点 An における法線と x 軸との交点の座標を ( an+ 1,0 ) とする.

(1)  an+ 1 a n の式で表せ.

(2) 数列 { an } の一般項を求めよ.

(3)  k=1 na k を求めよ.

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工,環境科学部

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【3】 各辺の長さが 1 の正四面体 OABC において, OA =a OB =b OC =c とする.また,線分 OA 2 :1 に内分する点を D 線分 AC の中点を E 線分 OB α :1-α に内分する点を F 線分 BC β :1-β に内分する点を G とする.ただし, α β は実数で, 0<α <1 0 <β< 1 とする.

(1)  DE DF を, a b c α を用いて表せ.

(2)  DE DF が直交するときの α の値を求めよ.また,そのときの DEF の面積 S を求めよ.

(3)  DE DF が直交し,かつ点 G が平面 DEF 上にあるときの β の値を求めよ.

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【4】 関数 f (x )=( 1-3 sinx )cos x を考える.

(1) 導関数 f (x ) と不定積分 f (x )d x を求めよ.

(2)  f (x ) (- π2 x π2 ) の最大値,最小値を求めよ.

(3)  x0 において,曲線 y =f (x ) x 軸および y 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ.

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