2018　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　自然数$n$に対して

$n!=n(n-1)(n-2)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1$

とおく．また，

$n!!=\{\begin{array}{ll}n(n-2)(n-4)\cdot \cdots \cdot 5\cdot 3\cdot 1& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ n(n-2)(n-4)\cdot \cdots \cdot 6\cdot 4\cdot 2& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$

とおく．次の問いに答えよ．

問１　$1000!$を素因数分解したときにあらわれる素因数$3$の個数を求めよ．

問２　$1000!!$を素因数分解したときにあらわれる素因数$3$の個数を求めよ．

問３　$999!!$を素因数分解したときにあらわれる素因数$3$の個数を求めよ．

【２】　$m\text{，}t$を正の実数とし，$mt>1$とする．$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,t)$をとる．原点を$\mathrm{O}(0,0)$とする．また，$2$直線

$l_1\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{m}}x+t$

$l_2\text{：}y=m(x-1)$

の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$の座標を$m$と$t$を用いて表せ．

問２　三角形$\mathrm{OAP}$の外接円の直径を$m$と$t$を用いて表せ．

問３　$t$を固定したとき，$\angle \mathrm{OPA}$の大きさは$m$によらず一定であることを示せ．

【３】　$p$を正の実数，$q$を$-2p^3<q<2p^3$をみたす実数とする．

$f(x)=x^3-3p^{2}x+q$

とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　$x$が実数全体を動くとき，$f(x)$が極値をとる$x$とそのときの極値をすべて求めよ．

問２　方程式$f(x)=0$は相異なる$3$つの実数解を持つことを示せ．

問３　問２の$3$つの解は，すべて

$-2p<x<2p$

をみたすことを示せ．

問４　問２の$3$つの解のうちの$1$つを$0<\theta <\pi$である$\theta$を用いて$2p\cos \theta$と表したとき，

$2p\cos (\theta +{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})\text{，}2p\cos (\theta +{\displaystyle \frac{4\pi }{3}})$

も解となることを示せ．

【４】　$0<k<1$とする．平面上の凸四角形$\mathrm{ABCD}$に対して，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$を関係式

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CR}}=k\overrightarrow{\mathrm{CD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DS}}=k\overrightarrow{\mathrm{DA}}$

によって定めるとき，次の問いに答えよ．

問１　原点を$\mathrm{O}$とする．等式

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}}+\overrightarrow{\mathrm{OS}}$

が成り立つことを示せ．

問２　比の値

${\displaystyle \frac{\text{（六角形}\mathrm{PBQRDS}\text{の面積）}}{\text{（四角形}\mathrm{ABCD}\text{の面積）}}}$

を$k$を用いて表せ．

問３　比の値

${\displaystyle \frac{\text{（四角形}\mathrm{PQRS}\text{の面積）}}{\text{（四角形}\mathrm{ABCD}\text{の面積）}}}$

を$k$を用いて表せ．

問４　$0<k<1$の範囲で$k$を動かすとき，問３の比の値の最小値とそのときの$k$を求めよ．

【１】　自然数$n$に対して

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}}\text{，}{T}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n+k}}$

とおくとき，次の問いに答えよ．

問１　すべての自然数$n$に対して$S_{2n}=T_n$が成り立つことを示せ．

問２　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}$を求めよ．

問３　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n-1}$を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．$0\leqq a_k\leqq 1$をみたす数列$\{a_k\}$に対して

$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$

とおく．実数$x$に対して

$I_n(x)=b_n(1-a_{1}x)(1-a_{2}x)\cdot \cdots \cdot (1-a_{n}x)$

と定めるとき，次の問いに答えよ．

問１　$a\geqq 0$とする．$x\geqq 0$に対して不等式$1-ax\leqq e^{-ax}$が成り立つことを示せ．

問２　不等式${\displaystyle {\int }_0^1}{I}_n(x)dx\leqq 1$を示せ．

問３　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{n}}=1$が成り立つとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{I}_n(x)dx=1$

となることを示せ．

【３】　次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

問１　定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{\sqrt{x}}dx+{\displaystyle {\int }_1^e}{(\log y)}^{2}dy$

の値を求めよ．

問２　$f(x)=\tan x$とする．関数$y=f(x)$は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で逆関数$x=f^{-1}(y)$を持つ．定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}\tan xdx+{\displaystyle {\int }_0^1}{f}^{-1}(y)dy$および${\displaystyle {\int }_0^1}{f}^{-1}(y)dy$

の値を求めよ．

問３　定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{x^2}dx+{\displaystyle {\int }_1^e}\sqrt{\log y}dy$

の値を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とし，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上に$2n+1$個の相異なる点

${\mathrm{P}}_k(\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{2n+1}},\sin {\displaystyle \frac{2\pi k}{2n+1}})\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}2n\text{）}$

をとる．また整数$j$に対して，$j$を$2n+1$で割った余りが$k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}2n$のとき，${\mathrm{P}}_j={\mathrm{P}}_k$と約束する．この記法の下で，

線分${\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_{k+n}$と線分${\mathrm{P}}_{k+1}{\mathrm{P}}_{k+1-n}$との交点を${\mathrm{Q}}_k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}2n\text{）}$

とおく．点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{Q}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2n}\text{，}{\mathrm{Q}}_{2n}\text{，}{\mathrm{P}}_0$を順に結んでできる折れ線が囲む図形を$K_n$とし，その面積を$A_n$とする．このとき次の問いに答えよ．

問１　$\angle {\mathrm{OP}}_0{\mathrm{Q}}_0$および$\angle {\mathrm{P}}_0{\mathrm{OQ}}_0$の値を$n$を用いて表せ．

問２　問１で求めた$\angle {\mathrm{OP}}_0{\mathrm{Q}}_0$の値を${\theta }_n$とおく．三角形${\mathrm{OP}}_0{\mathrm{Q}}_0$の面積を${\theta }_n$を用いて表せ．

問３　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$を求めよ．