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2018-11561-0101
2018 大阪府立大学 前期
知識情報システム・環境システム・マネジメント・獣医・応用生命科・緑地環境科・理・総合リハビリテーション学類
易□ 並□ 難□
【1】 円周を八等分する点を時計回りの順に, A ,B , C , D , E ,F , G ,H とし, A を出発点として駒を置く. 1 枚の硬貨を投げて,表が出たときは一つ先の点,裏が出たときは三つ先の点へ駒を時計回りに進め,最初に点 A に止まったときを上がりとする.例えば,裏裏表表と出たときは, A→ D→ G→ H→ A と進み, 1 周目で上がりとなる.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 硬貨を 4 回投げて上がりとなる確率を求めよ.
(2) 硬貨を 6 回投げて上がりとなる確率を求めよ.
(3) 1 周目で上がりとなる確率を求めよ.
(4) 途中で G に止まり, 1 周目で上がりとなる確率を求めよ.
この問題については,答えのみを既約分数の形で解答用紙の所定の欄に記入すること.
2018-11561-0102
【2】 原点を O とする座標空間において, A ( 1,-4 ,5) , B ( 1,2, -1) , C ( 2,1,- 1) , P ( p,q,4 ) とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) OP→ が AB → と BC → の両方に垂直であるとき, p と q の値をそれぞれ求めよ.
(2) OA→ と OP → が垂直であり, |OP →+x ⁢OB→ | が x =-2 で最小となるとき, p と q の値をそれぞれ求めよ.
(3) s と t がすべての実数を動くとき, |OA →+s ⁢AB→ +t⁢ BC→ | の最小値を求めよ.
2018-11561-0103
知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・理学類
【3】 複素数 z と共役な複素数を z ‾ で表し, i を虚数単位とする.また,複素数平面上で, 1+i を表す点を P とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 複素数 z の実部は 1 2⁢ (z +z‾ ) に等しいことを示せ.
(2) (1 +i) ⁢z の実部が 1 であるような任意の複素数 z に対して,次の等式を満たす実数 t が存在することを示せ.
z= 1-i 2+ (1+ i)⁢ t
(3) 0 でない複素数 w が複素数平面における中心 P , 半径 2 の円周上の点であるとする. 1 +iw の実部の値を求めよ.
(4) 複素数 z に対して 2 ⁢(1 +i) ⁢z の実部が 1 であるとき, 1z は複素数平面における中心 P , 半径 2 の円周上にあることを示せ.
2018-11561-0104
環境システム・マネジメント・総合リハビリテーション学類
【3】 数列 { an } は
a1 =1 ,a 2=2 , an +2- 2⁢a n+1 -3⁢ an= 0 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
を満たすとし,数列 { bn }, { cn } を
bn= an+ 1+ an ,c n=a n+1 -3⁢ an ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
と定める.自然数 n に対して,以下の問いに答えよ.
(1) bn+ 1 を b n の式で表せ.
(2) cn+ 1 を c n の式で表せ.
(3) bn と c n をそれぞれ n の式で表せ.
(4) an を n の式で表せ.
2018-11561-0105
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
【4】 自然数 n に対して, Sn = ∫1e ( log⁡x )n ⁢dx とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) S1 を求めよ.
(2) Sn+ 1 を S n と n の式で表せ.
(3) limn →∞ Sn を求めよ.
(4) limn →∞ n⁢Sn を求めよ.
2018-11561-0106
【4】 放物線 y =x2 を C1 , 放物線 y =-2⁢ x2- 1 を C 2 とする. a ,b を 0 でない定数とし, C1 上の点 A ( a,a2 ) における C 1 の接線と C 2 上の点 B ( b,-2 ⁢b2 -1 ) における C 2 の接線は平行であるとする.また, 2 点 A ,B を通る直線 l は C1 , C2 のそれぞれと異なる 2 点で交わるとし, C1 と l の交点で A と異なる点を P ,C2 と l の交点で B と異なる点を Q とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) B の座標と直線 l の方程式をそれぞれ a を用いて表せ.
(2) P と Q の x 座標をそれぞれ a の式で表せ.
(3) l と C 1 で囲まれた部分の面積を S1 ,l と C 2 で囲まれた部分の面積を S 2 とするとき, S 2S1 を求めよ.