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2018 大阪府立大学 前期

知識情報システム・環境システム・マネジメント・獣医・応用生命科・緑地環境科・理・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【1】 円周を八等分する点を時計回りの順に, A B C D E F G H とし, A を出発点として駒を置く. 1 枚の硬貨を投げて,表が出たときは一つ先の点,裏が出たときは三つ先の点へ駒を時計回りに進め,最初に点 A に止まったときを上がりとする.例えば,裏裏表表と出たときは, A D G H A と進み, 1 周目で上がりとなる.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 硬貨を 4 回投げて上がりとなる確率を求めよ.

(2) 硬貨を 6 回投げて上がりとなる確率を求めよ.

(3)  1 周目で上がりとなる確率を求めよ.

(4) 途中で G に止まり, 1 周目で上がりとなる確率を求めよ.

この問題については,答えのみを既約分数の形で解答用紙の所定の欄に記入すること.

2018 大阪府立大学 前期

知識情報システム・環境システム・マネジメント・獣医・応用生命科・緑地環境科・理・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【2】 原点を O とする座標空間において, A ( 1,-4 ,5) B ( 1,2, -1) C ( 2,1,- 1) P ( p,q,4 ) とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  OP AB BC の両方に垂直であるとき, p q の値をそれぞれ求めよ.

(2)  OA OP が垂直であり, |OP +x OB | x =-2 で最小となるとき, p q の値をそれぞれ求めよ.

(3)  s t がすべての実数を動くとき, |OA +s AB +t BC | の最小値を求めよ.

2018 大阪府立大学 前期

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・理学類

易□ 並□ 難□

【3】 複素数 z と共役な複素数を z で表し, i を虚数単位とする.また,複素数平面上で, 1+i を表す点を P とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 複素数 z の実部は 1 2 (z +z ) に等しいことを示せ.

(2)  (1 +i) z の実部が 1 であるような任意の複素数 z に対して,次の等式を満たす実数 t が存在することを示せ.

z= 1-i 2+ (1+ i) t

(3)  0 でない複素数 w が複素数平面における中心 P 半径 2 の円周上の点であるとする. 1 +iw の実部の値を求めよ.

(4) 複素数 z に対して 2 (1 +i) z の実部が 1 であるとき, 1z は複素数平面における中心 P 半径 2 の円周上にあることを示せ.

2018 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【3】 数列 { an }

a1 =1 a 2=2 an +2- 2a n+1 -3 an= 0 n=1 2 3

を満たすとし,数列 { bn } { cn }

bn= an+ 1+ an c n=a n+1 -3 an n= 1 2 3

と定める.自然数 n に対して,以下の問いに答えよ.

(1)  bn+ 1 b n の式で表せ.

(2)  cn+ 1 c n の式で表せ.

(3)  bn c n をそれぞれ n の式で表せ.

(4)  an n の式で表せ.

2018 大阪府立大学 前期

知識情報システム・獣医・応用生命科・緑地環境科・理学類

易□ 並□ 難□

【4】 自然数 n に対して, Sn = 1e ( logx )n dx とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  S1 を求めよ.

(2)  Sn+ 1 S n n の式で表せ.

(3)  limn Sn を求めよ.

(4)  limn nSn を求めよ.

2018 大阪府立大学 前期

環境システム・マネジメント・総合リハビリテーション学類

易□ 並□ 難□

【4】 放物線 y =x2 C1 放物線 y =-2 x2- 1 C 2 とする. a b 0 でない定数とし, C1 上の点 A ( a,a2 ) における C 1 の接線と C 2 上の点 B ( b,-2 b2 -1 ) における C 2 の接線は平行であるとする.また, 2 A B を通る直線 l C1 C2 のそれぞれと異なる 2 点で交わるとし, C1 l の交点で A と異なる点を P C2 l の交点で B と異なる点を Q とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  B の座標と直線 l の方程式をそれぞれ a を用いて表せ.

(2)  P Q x 座標をそれぞれ a の式で表せ.

(3)  l C 1 で囲まれた部分の面積を S1 l C 2 で囲まれた部分の面積を S 2 とするとき, S 2S1 を求めよ.

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