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2018-11561-0201
数学入試問題さんの(1)解答(PDF),(2)解答(PDF),(3)解答(PDF)へ
2018 大阪府立大学 中期
工学部
(1)〜(3)合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 以下の定積分の値を求めよ.ただし, e は自然対数の底である.
(1) ∫ 01 x (2 ⁢x+1 )3 ⁢ dx
(2) ∫ 0π2 sin3 ⁡x⁢cos 4⁡x ⁢dx
(3) ∫ 1e x⁢log ⁡x⁢d x
((1),(2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)
2018-11561-0202
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
配点45点
【2】 平面上に同一直線上にない 3 点 O , A , B がある.ただし, ∠AOB は直角ではないとする. 2 点 C , D を以下の条件をみたすように定める.
OB→ ≠OC → , BC →⫽ OA→ , | OB→ |= |OC → |,
OA→ ≠OD → , AD →⫽ OB→ , | OA→ |= |OD → |
4 つのベクトルを a→= OA→ , b→ =OB → , c →= OC→ , d→ =OD→ とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) c→ , d→ を a → と b → を用いて表せ.
(2) n を正の数とする. d→ =a→ +b→ , c→ =n⁢ a→ +b→ のとき, | a→ | | b→ | を n を用いて表せ.
(3) (2)の n が自然数とする. n と a→ , b→ のなす角 θ の組 ( n,θ ) を求めよ.
2018-11561-0203
【3】 2 個の白玉が入った袋 A と, 1 個の白玉と 2 個の赤玉が入った袋 B がある.以下の操作を考える.
操作: A から無作為に 1 個の玉を取り出して B に入れ,続いて B から無作為に 1 個の玉を取り出して A に入れる.
n を自然数とし,この操作を n 回くり返したとき, A の中に赤玉が 2 個ある確率を p n とし, A の中に赤玉が 1 個と白玉が 1 個ある確率を q n とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) p1 , q1 を求めよ.
(2) pn , qn を p n-1 と q n-1 を用いて表せ.ただし, n を 2 以上の自然数とする.
(3) pn , qn を n を用いて表せ.
2018-11561-0204
配点50点
【4】 n を 2 以上の自然数とする.曲線 y =xn ⁢e- x 上の点 ( t,tn ⁢e -t ) における接線と y 軸との交点を ( 0,fn ⁡( t) ) とする. t が t >0 の範囲を動くとき, fn ⁡(t ) が極大となる t を a n とし, fn⁡ (t ) が極小となる t を b n とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) fn ⁡(t ) を t と n を用いて表せ.
(2) an , bn を n を用いて表せ.
(3) 極限値 L =limn →∞ (a n- bn ) を求めよ.
2018-11561-0205
配点60点
【5】 関数 f ⁡(θ )= 12 ⁢ sin⁡2⁢ θ+sin⁡ θ の区間 [x ,x+π ] における最大値を g ⁡(x ) とする.ただし, x は 0 ≦x≦2 ⁢π をみたす実数とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) y=f⁡ (θ ) のグラフを 0 ≦θ≦ 3⁢π の範囲で描け.ただし,グラフの凹凸は調べなくてよい.
(2) g⁡( x) を x を用いて表せ.
(3) g⁡( x) が x =π において微分可能であるかどうかを理由をつけて答えよ.