2018 大阪府立大学 中期

Mathematics

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2018 大阪府立大学 中期

工学部

(1)〜(3)合わせて配点40点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の定積分の値を求めよ.ただし, e は自然対数の底である.

(1)  01 x (2 x+1 )3 dx

(2)  0π2 sin3 xcos 4x dx

(3)  1e xlog xd x

((1),(2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2018 大阪府立大学 中期

工学部

配点45点

易□ 並□ 難□

【2】 平面上に同一直線上にない 3 O A B がある.ただし, AOB は直角ではないとする. 2 C D を以下の条件をみたすように定める.

OB OC BC OA | OB |= |OC |

OA OD AD OB   | OA |= |OD |

4 つのベクトルを a= OA b =OB c = OC d =OD とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)  c d a b を用いて表せ.

(2)  n を正の数とする. d =a +b c =n a +b のとき, | a || b | n を用いて表せ.

(3) (2)の n が自然数とする. n a b のなす角 θ の組 ( n,θ ) を求めよ.

((1),(2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2018 大阪府立大学 中期

工学部

配点45点

易□ 並□ 難□

【3】  2 個の白玉が入った袋 A と, 1 個の白玉と 2 個の赤玉が入った袋 B がある.以下の操作を考える.

操作: A から無作為に 1 個の玉を取り出して B に入れ,続いて B から無作為に 1 個の玉を取り出して A に入れる.

n を自然数とし,この操作を n 回くり返したとき, A の中に赤玉が 2 個ある確率を p n とし, A の中に赤玉が 1 個と白玉が 1 個ある確率を q n とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  p1 q1 を求めよ.

(2)  pn qn p n-1 q n-1 を用いて表せ.ただし, n 2 以上の自然数とする.

(3)  pn qn n を用いて表せ.

((1),(2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2018 大阪府立大学 中期

工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】  n 2 以上の自然数とする.曲線 y =xn e- x 上の点 ( t,tn e -t ) における接線と y 軸との交点を ( 0,fn ( t) ) とする. t t >0 の範囲を動くとき, fn (t ) が極大となる t a n とし, fn (t ) が極小となる t b n とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  fn (t ) t n を用いて表せ.

(2)  an bn n を用いて表せ.

(3) 極限値 L =limn (a n- bn ) を求めよ.

((1),(2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)

2018 大阪府立大学 中期

工学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【5】 関数 f (θ )= 12 sin2 θ+sin θ の区間 [x ,x+π ] における最大値を g (x ) とする.ただし, x 0 x2 π をみたす実数とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  y=f (θ ) のグラフを 0 θ 3π の範囲で描け.ただし,グラフの凹凸は調べなくてよい.

(2)  g( x) x を用いて表せ.

(3)  g( x) x =π において微分可能であるかどうかを理由をつけて答えよ.