2018　大阪府立大学　中期MathJax

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{{(2x+1)}^3}}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{3}x{\cos }^{4}xdx$

(3)　${\displaystyle {\int }_1^e}\sqrt{x}\log xdx$

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\ne \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}⫽\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\ne \overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}⫽\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|$

$4$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$n$を正の数とする．$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}=n\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$のとき，${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{a}\right|}{\left|\overrightarrow{b}\right|}}$を$n$を用いて表せ．

(3)　(2)の$n$が自然数とする．$n$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$の組$(n,\theta )$を求めよ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

操作：$\mathrm{A}$から無作為に$1$個の玉を取り出して$\mathrm{B}$に入れ，続いて$\mathrm{B}$から無作為に$1$個の玉を取り出して$\mathrm{A}$に入れる．

$n$を自然数とし，この操作を$n$回くり返したとき，$\mathrm{A}$の中に赤玉が$2$個ある確率を$p_n$とし，$\mathrm{A}$の中に赤玉が$1$個と白玉が$1$個ある確率を$q_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{q}_1$を求めよ．

(2)　$p_n\text{，}{q}_n$を$p_{n-1}$と$q_{n-1}$を用いて表せ．ただし，$n$を$2$以上の自然数とする．

(3)　$p_n\text{，}{q}_n$を$n$を用いて表せ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　$f_n(t)$を$t$と$n$を用いて表せ．

(2)　$a_n\text{，}{b}_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　極限値$L=\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})$を求めよ．

（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

(1)　$y=f(\theta )$のグラフを$0\leqq \theta \leqq 3\pi$の範囲で描け．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

(2)　$g(x)$を$x$を用いて表せ．

(3)　$g(x)$が$x=\pi$において微分可能であるかどうかを理由をつけて答えよ．