2018　奈良県立医科大学　前期医学科MathJax

【１】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　次のデータを考える．

は$20$以上$80$以下，$b$は$2009$以上$2018$以下の実数を動くとき，$y$の中央値$m$の取りうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$となる．また，$x$と$y$の相関係数は，$a=\boxed{\text{イ}}\text{，}b=\boxed{\text{ウ}}$のとき最大値$\boxed{\text{エ}}$を取る．

【２】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　$0$から$9$までの番号が書かれた$10$マスからなるすごろくがある．ゴールは$0$番のマスとする．サイコロを$1$回振るごとにコマがマスを移動するが，$x$番のマスにいるときにサイコロの出た目の数が$y$ならば，$|x-y|$番のマスに移動する．ただし，このサイコロは$1$から$6$までのどの目も同じ確率で出るものとする．

(1)　$6$番のマスからスタートし，$n$回目にサイコロを振って初めてゴールに到達する確率を$P_n$とする．正整数$n$に対して$P_n=\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　$9$番のマスからスタートし，$n$回目にサイコロを振って初めてゴールに到達する確率を$Q_n$とする．このとき$Q_2=\boxed{\text{イ}}\text{，}{Q}_3=\boxed{\text{ウ}}$で，

$Q_n=\boxed{\text{エ}}\text{（}n=4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

となる．さらに

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{Q}_k=\boxed{\text{オ}}$

である．ただし，$\left|r\right|<1$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$を使ってよい．

【３】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\mathrm{BC}$を底辺とし，底辺の長さを$1\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$の高さを$h$とする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円$R$の半径$r$は$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　外接円$R$の中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形$\mathrm{AOCD}$を考える．$\mathrm{D}$が$R$の周上にあるのは$h=\boxed{\text{イ}}$のときである．

【４】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　$0$以上の整数$n$に対し，$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{n}xdx$とおく．

(1)　$n\geqq 2$に対して

${\displaystyle \frac{d}{dx}}({\cos }^{n-1}x\sin x)=\alpha {\cos }^{n-2}x+\beta {\cos }^{n}x$（ただし$\alpha \text{，}\beta$は$x$によらない定数）

と表すと，$\alpha =\boxed{\text{ア}}\text{，}\beta =\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$n\geqq 2$に対して，漸化式$a_n=\boxed{\text{ウ}}{a}_{n-2}$が成り立つ．

(3)　$n\geqq 0$に対して，数列$\{a_{n+1}{a}_n\}$の一般項の値を求めると$a_{n+1}{a}_n=\boxed{\text{エ}}$である．

【５】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　空間に一辺の長さ$l$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{O}$を始点とする点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$とする．定数$p\text{，}q$に対して，点$\mathrm{X}$が内積についての条件$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OX}}=p$および$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OX}}=q$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{X}$の集合は直線をなす．この直線の長さ$1$の方向ベクトルは$\overrightarrow{u}=\pm \boxed{\text{ア}}$である．このとき，直線は媒介変数$t$と定数$\alpha \text{，}\beta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=t\overrightarrow{u}+\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}$の形に書ける．$\alpha$と$\beta$を$p\text{，}q\text{，}l$を用いて表すと$\alpha =\boxed{\text{イ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{ウ}}$となる．

【６】　以下の問に答えよ．

(1)　$x$の整式$x^4+2x^3+2x^2+2x+1$を因数分解せよ．

(2)　どのような正整数$n$に対しても，$n^4+2n^3+2n^2+2n+1$は平方数ではないことを証明せよ．ただし，平方数とはある正整数$m$を用いて$m^2$と表される正整数のことである．