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【1】 つのサイコロがある.つめはが各面にひとつずつ書かれた普通のサイコロである.つめはが書かれた面がつずつある偶数サイコロである.つめはが書かれた面がつずつある奇数サイコロである.いずれのサイコロについても,つの面のそれぞれにつの整数が書かれており,サイコロを振ったときにどの面が出るかは同様に確からしいとする.このとき,次のような試行を考える.
試行:普通のサイコロを回振り,出た面に書かれたつの整数の積を計算する.その積が奇数であれば奇数サイコロを,偶数であれば偶数サイコロを選ぶ.選ばれたサイコロを回振り,出た面に書かれたつの整数の和をとする.
(1) この試行においてがとなる確率を求めよ.
(2) ‘がであったとき,最初に振る回の内,回目の普通のサイコロの出た面に書かれた整数がである’という条件付き確率を求めよ.
【4】 実数全体で定義された関数が条件(C)を満たすとは,以下が成り立つこととする:
条件(C):任意の実数に対して正の実数が存在し,がの範囲を動くとき,不等式が成り立つ.
(1) は実数全体で定義された関数であり,条件(C)を満たすとする.更により大きい実数が存在し,任意の実数に対して不等式
が成り立つとする.このとき,‘任意の正整数と任意の実数について不等式
が成り立つ’ことを証明せよ.更に,‘正の実数と正の実数とが存在し,任意の実数に対して不等式
が成り立つ’ことを証明せよ.
(2) は実数全体で定義された関数であり,条件(C)を満たすとする.更に実数およびより大きい実数が存在し,任意の実数に対して不等式
が成り立つとする.このとき,‘正の実数と正の実数とが存在し,任意の実数に対して不等式
が成り立つ’ことを証明せよ.