2018　広島市立大学　前期MathJax

【１】

問１　次の関数の導関数を求めよ．

$y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+\log x}}}$

【１】

問２　次の不定積分，定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }\cos \sqrt{x}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}{(1-x^2)}^{-\frac{3}{2}}dx$

【１】

問３　$7$個の玉を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人に分ける方法は何通りあるか．ただし，$7$個の玉は区別できないものとする．また，$1$個ももらえない人がいてもよいとする．

【２】

問１　$a_1=-1\text{，}2a_{n+1}={a_n}^2+3n{a}_n-6\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$を考える．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【２】

問２(1)　$2$進法で表された小数${0.101}_{(2)}$を$10$進法の分数で表せ．

(2)　$2$進法で表された循環小数${0.\stackrel{\cdot }{1}\stackrel{\cdot }{0}}_{(2)}={0.101010\cdots }_{(2)}$を$10$進法の分数で表せ．

(3)　$n$進法で表された整数${1010}_{(n)}$は$10$進法で表すと$30$であるという．このとき$n$を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=\sqrt{x-1}$上に点$\mathrm{P}(t,\sqrt{t-1})$をとる．ただし，$t>1$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とし，$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$\mathrm{P}$における$C$の法線を$m$とし，$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

問１　直線$l\text{，}m$の方程式および点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を求めよ．

問２　曲線$C\text{，}$直線$l$および$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S_1$とし，曲線$C\text{，}$直線$m$および$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S_2$とする．

(1)　$S_1:S_2=1:3$であるとき，$t$の値を求めよ．

(2)　$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めよ．

【４】　平面上に三角形$\mathrm{OAB}$と点$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，内積に関する等式$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$が成り立つとする．次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{OB}\perp \mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{OC}\perp \mathrm{AB}$が成り立つことを示せ．ただし，点は$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と異なるものとする．

問２　点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$が成り立つ点とする．このとき，点$\mathrm{D}$は三角形$\mathrm{OAB}$の外心であることを示せ．

問３　$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\cos \angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．

(1)　$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$が成り立つような$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

(2)　$t$を$0<t<1$を満たす実数とし，辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{E}$が一直線上にあるとき，$t$の値を求めよ．