2018　高知工科大学　後期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(1)　$x+y+z=0$を満たす$-3$以上$3$以下の整数$x\text{，}y\text{，}z$によってできる空間の点$(x,y,z)$は何個あるか．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(2)　$a$を定数として$x$の$2$次関数$f(x)=x^2-2ax+a+2$の区間$0\leqq x\leqq 2$における最小値を$m(a)$で表す．さらに$m(a)$を$a$の関数と考えるとき，$m(a)$の最大値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(3)　ある放物線が直線$y=x+2$と$2$点で交わっている．この$2$点の$x$座標はそれぞれ$0$と$2$である．この放物線が点$(3,-1)$を通るとき，放物線の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(4)　不等式$x^3-x^2-x+1\leqq 0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(5)　公差が$-5\text{，}$第$10$項が$70$である等差数列$\{a_n\}$の第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_n<-375$を満たす最小の$n$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(6)　${\log }_3|\sin \theta |-{\log }_3|\cos \theta |=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　点$\mathrm{P}$が円${(x-1)}^2+{(y+3)}^2=16$の周上を動くとき，点$\mathrm{A}(1,5)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分を$1:3$の比に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　平面上に定点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}$$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$があり，$\left|\overrightarrow{a}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=4\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=7$を満たしている．このとき，点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$に関する方程式

$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0$

で表される円の半径を求めよ．

【２】　$f(x)=3|x^2-1|$とする．$-1<a<1$である定数$a$に対して，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,f(a))$における接線を$l_a$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$l_a$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l_a$と曲線$y=f(x)$の共有点で，接点$\mathrm{P}$以外の点を$\mathrm{A}(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}\mathrm{B}(\beta ,f(\beta ))\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とおく．$\alpha \text{，}\beta$を$a$の式で表せ．

(3)　直線$l_a$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S_a$を求めよ．

(4)　$a$が$-1<a<1$の範囲で変動するとき，(3)で求めた$S_a$の最小値を求めよ．

【３】　点$\mathrm{A}$は数直線上にある．点$\mathrm{A}$は$1$個のさいころを$1$回投げるごとに，次の規則で数直線上を移動する：

出た目の数が$3$の倍数であるときは正の向きに$2$だけ移動する．

それ以外のときは負の向きに$1$だけ移動する．

最初は，点$\mathrm{A}$は原点にある．$n$回さいころを投げて点$\mathrm{A}$が座標$k$の位置に止まる確率を$P_n(k)$で表す．例えば，さいころを$2$回投げて点$\mathrm{A}$が座標$5$の位置に止まる可能性はないので$P_2(5)=0$である．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$P_1(a)>0$となる座標$a$の値をすべて求めよ．また，求めた各$a$について$P_1(a)$の値を求めよ．

(2)　$P_3(0)$の値を求めよ．

(3)　$P_n(-n+3)$の値を求めよ．

(4)　$0\leqq j\leqq n$の範囲の整数$j$に対し，$P_n(-n+3j)$の値を求めよ．

(5)　$n=2018$のとき，$P_{2018}(k)$が最大となる整数$k$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(7)　関数$y=x^{\frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$について，$y^{\prime }=0$を満たす$x$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること．

(8)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^{2}dx$を求めよ．

【２】　$k$を定数とする．$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2+k\text{，}{C}_2\text{：}y=-{(x-1)}^2$について次の各問に答えよ．

(1)　$t$を定数とする．接点の$x$座標が$t$である$C_1$の接線の方程式を$t$および$k$を用いた式で表せ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接する直線が$2$本存在するような$k$の範囲を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接する$2$本の直線が互いに直交するときの$k$の値を求めよ．

(4)　$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接する$2$本の直線のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$となるときの$k$の値を求めよ．

【３】　次の各問に答えよ．

(1)　自然数$n$と$0\leqq x\leqq 1$の範囲の実数$x$に対し，次の和を求めよ．

$1-x^2+x^4-x^6+\cdots +{(-x^2)}^{n-1}$

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，次の不等式を証明せよ．

$0\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{2n}}{1+x^2}}dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$

(4)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }\{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}+\cdots +{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{2n-1}}\}$