2018　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\tan \theta ={\displaystyle \frac{1}{6}}$のとき，次の式の値を求めよ．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

• $\text{①}$　${\cos }^2\theta$
• $\text{②}$　$\sin 2\theta$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　座標空間に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(\sqrt{2},2,0)\text{，}\mathrm{B}(\sqrt{2},-1,\sqrt{3})\text{，}\mathrm{C}(\sqrt{2},-1,-\sqrt{3})$がある．$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$を$3$つの辺とする平行六面体において，その体積を$V$とする．

$\text{①}$　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$をそれぞれ求めよ．

$\text{②}$　体積$V$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$m$を$0$でない実数とするとき，

${({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}y-m)}^2+{({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}y+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}z-m)}^2+{({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}y-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}z-m)}^2$

$={(x-am)}^2+{(y-bm)}^2+{(z-cm)}^2$

が$x\text{，}y\text{，}z$についての恒等式となるような定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【２】　$2$つの関数$F(s)$と$G(x)$を

$F(s)=-e^{\frac{{(s-3)}^2}{2}}$（$s$は実数）

$G(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t^2}dt$（$x\geqq 0$）

とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }G(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}$を用いてよい．

(1)　$F(s)$の導関数$F^{\prime }(s)$を求めよ．

(2)　$x\geqq 3$のとき，${\displaystyle {\int }_{-x}^x}{e}^{-\frac{{(s-3)}^2}{2}}ds$を，$G\left({\displaystyle \frac{x-3}{\sqrt{2}}}\right)\text{，}G\left({\displaystyle \frac{x+3}{\sqrt{2}}}\right)$を用いて表せ．また，極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-x}^x}{e}^{-{\displaystyle \frac{{(s-3)}^2}{2}}}ds$を求めよ．

(3)　$x\geqq 3$のとき，${\displaystyle {\int }_{-x}^x}s{e}^{-\frac{{(s-3)}^2}{2}}ds$を，$F(x)\text{，}F(-x)\text{，}G\left({\displaystyle \frac{x-3}{\sqrt{2}}}\right)\text{，}G\left({\displaystyle \frac{x+3}{\sqrt{2}}}\right)$を用いて表せ．また，極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-x}^x}s{e}^{-\frac{{(s-3)}^2}{2}}ds$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-x}^x}(s-3)F^{\prime }(s)ds$を求めよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x^2}=0$を用いてよい．

【３】　数直線上の座標$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$のいずれかにある$1$つの石を考える．このとき，以下の操作を行う．

(a)　石が座標$0$にあるとき，確率$1$で座標$0$にとどまる．（移動しない）

(b)　石が座標$k\text{（}k=1\text{，}2\text{）}$にあるとき，確率$p\text{（}0<p<1\text{）}$で座標$k+1$に移動し，確率$1-p$で座標$k-1$に移動する．

(c)　石が座標$3$にあるとき，確率$1$で座標$3$にとどまる．（移動しない）

次の問いに答えよ．

(1)　石が座標$1$にある状態から始め，上の操作を偶数$2n$回（$n\geqq 1$）繰り返した後に，その石が座標$3$にある確率を$P_1(2n)$と定める．このとき，確率$P_1(2)\text{，}$確率$P_1(4)$を求めよ．

(2)　(1)で定めた確率${\mathrm{P}}_1(2n)$を求めよ．

(3)　石が座標$2$にある状態から始め，上の操作を奇数$2n-1$回（$n\geqq 1$）繰り返した後に，その石が座標$3$にある確率$P_2(2n-1)$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_1(2n)\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_2(2n-1)$を，$p$を用いて表せ．また，求めた極限値をそれぞれ$P_1\text{，}{P}_2$とおき，さらに$P_0=0\text{，}{P}_3=1$とする．このとき，$(1-p)P_{k-1}+p{P}_{k+1}-P_k\text{（}k=1\text{，}2\text{）}$の値をそれぞれ求めよ