2018 北九州市立大学 前期MathJax

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2018 北九州市立大学 前期

経済学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 数列 { an } は,次の式で与えられるとする.

an+ 1= a n2 + 2an n=! 2 3

ただし,初項 a 1 a1> 0 を満たすとする.つぎの問題に答えよ.

(1)  an >0 n=1 2 3 を示せ.

(2)  an 2 n=2 3 4 を示せ.また,等号が成り立つときの a 1 の値を求めよ.

(3)  a1 =1 のとき,数列 { an } で最大となる項 a n とそのときの n の値を求めよ.

以下では,数列 { an } の初項が a1= 6 の場合を考える.さらに,数列 { bn } は,つぎの式で与えられるとする.

bn= log2 an- 2an +2 n=1 2 3

つぎの問題に答えよ.

(4)  bn+ 1 b n を用いて表せ.また,数列 { bn } の一般項 b n を求めよ.

(5) 数列 { an } の一般項 a n を求めよ.

2018 北九州市立大学 前期

経済学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】  f( x)= x2- 2x- 3 とし,座標平面上で関数 y= f( x) のグラフを C とする. C 上の 2 P ( α, f( α) ) Q ( β, f( β) ) における C の接線を各々 l1 l 2 とする.ただし, α<β とする.また, l1 l2 の交点を R とし, R を通り y 軸に平行な直線を l 3 とする.つぎの問題に答えよ.

(1)  l1 l2 の式を α β を用いて表せ.

(2) 点 R の座標を α β を用いて表せ.

(3)  C l 1 l3 で囲まれる部分の面積を S とする. S α β を用いて表せ.

(4)  C l 3 直線 PQ で囲まれる部分のうち,点 Q を含むものの面積を T とする. T α β を用いて表せ.

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経済学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の 3 点を O ( 0,0 ) A (a ,0) B とする.ただし, a a >0 を満たし,点 B は第 1 象限にあり BOA=30 ° とする. OAB の外心を T とし,外接円の半径を R とする.点 T から x 軸へ垂線 TH を下ろす.また, ABO= θ とし 0 ° <θ<90 ° を満たすとする.つぎの問題に答えよ.

(1) 直線 OB の式を求めよ.

(2)  TAB の面積を R を用いて表せ.

(3) 垂線 TH の長さおよび cos θ a R を用いて表せ.

(4) 点 B の座標を a R を用いて表せ.

2018 北九州市立大学 前期

経済学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】 多くの電子メールを受信した.その中に迷惑メールが含まれていて困っている.受信した電子メールの数の 60 % が迷惑メールであった.受信した迷惑メールを確認すると,その数の 70 % にキーワード A 50 % にキーワード B が含まれていた.また,受信した電子メール全体では,その数の 80 % にキーワード A 40 % にキーワード B が含まれていた.キーワード A が含まれるという事象とキーワード B が含まれるという事象は互いに独立であった.このとき,受信した電子メール全体について,つぎの問題に答えよ.ただし, 36× 24 59 =0.006 とする.

(1) キーワード A とキーワード B の両方が含まれている確率を求めよ.

(2) キーワード A とキーワード B のうち少なくとも一方が含まれている確率を求めよ.

(3) ランダムに 10 通を取り出したとき,そのうち 6 通が迷惑メールである確率を求めよ.

(4) ランダムに 1 通を取り出したとき,キーワード A を含む迷惑メールである確率と,キーワード B を含む迷惑メールである確率を求めよ.

(5) キーワード A を含むメールとキーワード B を含むメールについて,迷惑メールである確率を各々求めよ.また,どちらの確率が大きいか.

2018 北九州市立大学 前期

国際環境工学部

【1】で配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いの空欄に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

問1  x4+ x3 y-2 x2 y2 を因数分解すると である.

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国際環境工学部

【1】で配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いの空欄に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

問2  x y が, 2 つの方程式 x -2y =1 x 3-8 y3= 3 を同時に満たすとき, xy= x 2+4 y2= x5 -32y 5= である.

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国際環境工学部

【1】で配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いの空欄に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

問3 投げると 13 の確率で表が出る変形したコインがある.このコインを A B 2 人がそれぞれ 3 回ずつ投げる.このとき, A B の表の出る回数が,どちらも 1 回となる確率は であり, 1 回に限らずどちらも同じ回数となる確率は となる.

2018 北九州市立大学 前期

国際環境工学部

【1】で配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いの空欄に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

問4  x の範囲が 1 x3 のとき, x2- ax-5 <0 を満たす実数 a の値の範囲は, である.

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国際環境工学部

【1】で配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いの空欄に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

問5 三角形 ABC において, sinA 3= sin B5 = sinC 7 が成り立つとき, cosC = cos (A+ B)= である.

2018 北九州市立大学 前期

国際環境工学部

【2】で配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問いの空欄に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

問1  2 次方程式 x 2-8 x+a+18 =0 が異なる 2 つの実数解 α β をもつとき,定数 a の値の範囲は α3 +β3 のとり得る値の範囲は である.

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国際環境工学部

【2】で配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問いの空欄に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

問2 直線 - 2x+ y=3 が円 ( x-2) 2+ (y -1) 2=25 によって切り取られてできる線分の長さは である.

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国際環境工学部

【2】で配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問いの空欄に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

問3  θ が鋭角で sin θ= 35 のとき, sinθ の値は であり, cos2 θ の値は であり, tan2 θ の値は である.

2018 北九州市立大学 前期

国際環境工学部

【2】で配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問いの空欄に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

問4 不等式 3 ( log3 x)2 -13 log3 x<-4 について, log3 x の値の範囲は であり, x の値の範囲は である.

2018 北九州市立大学 前期

国際環境工学部

【2】で配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問いの空欄に入れるのに適する数値,式を解答箇所に記せ.証明や説明は必要としない.

問5  a1= 14 a n+1 = an-3 an+2 で定義される数列 { an } について, bn = 1an とおくとき, bn+ 1 b n の関係式は であり,一般項 a n である.

2018 北九州市立大学 前期

国際環境工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】 曲線 C y= e x+e -x 2 について,以下の問いに答えよ.答えを導く過程も示すこと.

問1 曲線 C の極値,グラフの凹凸,及び変曲点を調べて,増減表を作成せよ.

問2 曲線 C のグラフをかけ.

問3 曲線 C と直線 y =0 及び,直線 x =-1 と直線 x =1 に囲まれた図形の面積 S を求めよ.

問4 曲線 C において,区間 - 1x 1 の長さ L を求めよ.

2018 北九州市立大学 前期

国際環境工学部

配点50点

易□ 並□ 難□

【4】 原点を O として空間に 3 A ( 1,0, 2) B ( 2,1, 1) C ( -1,- 1,3 ) をとる.以下の問いに答えよ.答えを導く過程も示すこと.

問1 点 A を通り直線 OA と直交する平面 L 上の点 P ( x,y, z) を考える. OAAP を満たす x y z の方程式を求めよ.

問2 点 B を通り直線 OB と直交する平面 M および点 C を通り直線 OC と直交する平面 N を考える.平面 L と平面 M 平面 N は点 P で交わる.点 P の座標を求めよ.

問3 点 A B C を通る平面と,原点 O を通る直線が直交し,その交点を H とするとき,点 H の座標を求めよ.

問4 線分 PH の長さを求めよ.ただし,点 P と点 H の座標は問2と問3で求めた座標とする.

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